دالة أوميغا الأولية

في نظرية الأعداد ، دوال أوميغا الأولية و (بالإنجليزية : Prime omega functions) تقومان بحساب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي تقوم (أوميغا الصغيرة) بحساب كل عامل أولي مميز ، في حين أن الدالة (أوميغا كبيرة) تحسب العدد الإجمالي للعوامل الأولية لـ .

يمكن للمرئ أن يلاحظ أن هاتان الدالتان هما دالتان ضربيتان (انظر دالة الحسابية ). على سبيل المثال، إذا كان لدينا تعميل أولي لـ على النحو التالي بحيث هو عدد أولي ( ) ، فيتم إعطاء دوال أوميغا الأولية بواسطة و . تملك دوال عدّ العوامل الأولية هذه أهمية كبيرة في مبرهنات وعلاقات نظرية الأعداد

خصائص وعلاقاتعدل

  هي دالة جمعية و   هي جمعية بالكامل، نُعرف   كالآتي :

 

إذا كان   يقسم   مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال  . أما بالنسبة ل   فتُعرّف كالآتي :

 

إذا كان   يقسم   عدد   من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال  . لاحظ أنه  . إذا كان   فإن   هو مربع حر ويعبر عنه بإستعمال دالة موبيوس كالآتي :

 

إذا كان   فإن   عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة   .[1]

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل   أو   لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب   بالمتسلسة الآتية [2]

 

بحيث   هو ثابت ميرتنز و   هي ثوابت ستيلتجيس .


الدالة   لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات [3]

 

 

 

 

  

 

الإمتداد للمستوى العقديعدل

تم العثور على استمرار ل   ، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.[4]

 

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ This inequality is given in Section 22.13 of Hardy and Wright.
  2. ^ S. R. Finch, Two asymptotic series, Mathematical Constants II, Cambridge Univ. Press, pp. 21-32,
  3. ^ Each of these started from the second identity in the list are cited individually on the pages دالة حسابية، دالة حسابية, and مؤشر أويلر. The first identity is a combination of two known divisor sums cited in Section 27.6 of the NIST Handbook of Mathematical Functions. نسخة محفوظة 2021-04-26 على موقع واي باك مشين.
  4. ^ Eyvindur Palsson, Zachary Hoelscher. "Counting Restricted Partitions of Integers Into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to ω(t)". PUMP. مؤرشف من الأصل في 22 يناير 2021. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)