مبرهنة العلم البريطاني

في الهندسة الإقليدية، مبرهنة العلم البريطاني تنص على أنه إذا كانت النقطة P داخل المستطيل ABCD، فإن مجموع مربعَي المسافتين الإقليديتين بين P ورأسين متقابلين في هذا المستطيل، تساوي مجموع مربعي المسافتين بين P والنقطتين الأخريين المتقابلتين. أي أن: $AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}$ تتحقق المبرهنة أيضاً إذا كانت النقطة P خارج المستطيل ABCD، ويمكن تعميمها إلى أي نقطة في الفضاء الإقليدي.

استناداً إلى مبرهنة العلم البريطاني، فإن المربعين الأحمرين لهما نفس المساحة الإجمالية للمربعين الأزرقين

بصورة عامة، سيكون مجموع مربعي المسافتين بين النقطة P وكل رأسين متقابلين في متوازي أضلاع على المستوي ذاته مختلفة، لكن الفرق سيعتمد على شكل متوازي الأضلاع، وليس على مكان النقطة P .

البرهان

البرهان

نرسم من النقطة P أعمدة على AB، BC، CD، AD، لتلاقيها في النقاط W، X، Y، Z على الترتيب، كما هو مرسوم على الشكل جانباً، نلاحظ أن WY يعامد XZ، وبتطبيق مبرهنة فيثاغورس ، وبملاحظة أن WP=AZ نجد أن:

• $AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$
• $PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}$
• $BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}$
• $PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}$

ومنه: $AP^{2}+PC^{2}=(AW^{2}+AZ^{2})+(WB^{2}+ZD^{2})=(WB^{2}+AZ^{2})+(ZD^{2}+AW^{2})=BP^{2}+PD^{2}.\,$

التسمية

علم المملكة المتحدة بريطانيا.

الاسم مأخوذ من أنه عند رسم القطع المستقيمة الواصلة بين P ورؤوس المستطيل، ورسم الأعمدة من P على الأضلاع، يصبح الشكل الناتج شبيهاً بعلم الاتحاد.

انظر أيضاً

• مستطيل
• مستوي
• علم بريطانيا
• مربع عدد