قانون الأعداد الكبيرة

يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشوائية يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشوائية۔

قانون الأعداد الكبيرة

معلومات عامة

جزء من	نظرية الاحتمال Gesetz der großen Zahlen (Theorie) (de)
جانب من جوانب	إحصاء نظرية الاحتمال
الاسم المختصر	LLN (بالإنجليزية) GGZ (بالألمانية) ЗБЧ (بالروسية)
تسبب في	تعميم خاطئ
تم حلها بواسطة	بافنوتي تشيبيشيف

مثال

رمي درهم:

عدد الرميات	عدد ظهور الصورة		نسبة		البعد المطلق	البعد النسبي
	نظري	تطبيقي (مشاهد)	نظري	تطبيقي (مشاهد)
100	50	48	0٫500	0٫480	2	0٫020
1٬000	500	491	0٫500	0٫491	9	0٫009
10٬000	5٬000	4٬970	0٫500	0٫497	30	0٫003

قانون الأعداد الكبيرة الضعيف

يسمى قانون الأعداد الكبيرة الضعيف قانون خينتشين أيضا۔

مبرهنة — $\forall \varepsilon >0,\quad \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geq \varepsilon \right)=0$

برهان

$\mathbb {P} (|Y-E(Y)|\geq \varepsilon )\leq {\frac {V(Y)}{\varepsilon ^{2}}}$۔

إن للمتغير $Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}$ توقعا E(X) وتباينا ${\frac {V(X)}{n}}$۔ فلكل n :

$\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geq \varepsilon \right)\leq {\frac {V(X)}{n\varepsilon ^{2}}}$۔