دالة مولدة

في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function)‏ هي متسلسلة قوى شكلية بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد a_n .

قد تسمى الدالة المولدة المتسلسلةَ المولدةَ، مما يفسر تسميتها باللغة الفرنسية Série génératrice.

تعريفات

الدوال المولدة الاعتيادية

$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$

الدوال المولدة الأسية

الدالة المولدة الأسية لمتتالية a_n هي :

$\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$

الدوال المولدة الأسية أكثر نفعا من الدوال المولدة الاعتيادية عندما يتعلق الأمر بمعضلات مرتبطة بالتوافقيات.

الدوال المولدة لبواسون

انظر إلى سيميون بواسون.

$\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).$

أمثلة

المقالة الرئيسة: أمثلة عن الدوال المولدة

الدوال المولدة للمتتالية المتمثلة في مربعات الأعداد الطبيعية a_n = n² هن :

الدوال المولدة الاعتيادية

$G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}$

الدوال المولدة الأسية

$\operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}$

تطبيقات

تستعمل الدوال المولدة من أجل :

• إيجاد التعبير مغلق الشكل لمتتالية معرفة بالاستدعاء الذاتي. أعداد فيبوناتشي مثالا.

انظر أيضا

• معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود