البرهان على أن باي عدد غير كسري
(بالتحويل من البرهان على أن π عدد غير جذري)
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (يناير 2022) |
درس العدد π منذ العصور القديمة، كما هو الحال أيضا بالنسبة إلى مفهوم الأعداد غير الكسرية. عدد غير كسري هو كل عدد لا يمكن كتابته على شكل كسر a/b حيث a عدد صحيح وحيث b عدد صحيح لا يساوي الصفر.
في القرن الثامن عشر، برهن يوهان هاينغيش لامبرت على كون π عددا غير كسري.
برهان لامبرت عدل
في عام 1761، أثبت يوهان هاينغيش لامبرت أن π عدد غير كسري؛ وذلك من خلال البرهان أولا على أن الكسر المستمر أسفله يساوي ظل x:
ثم البرهان على أنه إذا كان x عددا كسريا، فإن دالة الظل تكون غير كسرية.
وبما أن tan(π/4)=1 عدد كسري، هذا يعني أن π/4، وبالأخص π، عدد غير كسري.
من أجل هذا البرهان، قد تستعمل متسلسلة تايلور على دالتي الجيب والجيب التمام.
برهان نيفن عدل
افترض نيفن أن π عدد كسري، مما مكنه من كتابة π=a/b حيث a و b عددان صحيحان. بدون فقدان للتعميم، افترض أن هذين العددين موجبان.
من أجل كل x ∈ ℝ.
