أساليب رونج-كوتا

أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y)$

والتي تأخذ شكل:$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}$

$k_{1}=f(t_{n},y_{n})$

$k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1}))$

$k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2}))$

$k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right)$

طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يلي

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}$

أساليب صريحة

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}$

طريقة هيون

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

طريقة رالستون

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

طريقة عامة من الدرجة الثانية

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}$

طريقة كوتا الثالثة

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

طريقة الترتيب الرابع التقليدية

وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا.

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}$

3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}$

أساليب ضمنية

تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:$y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},$

$e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},$

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}$

طريقة هيون-يولر

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:

${\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}$

يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

طريقة فلبرج RK1

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/256	255/256	0
		1/512	255/256	1/512

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة بوجاكي - شامبين

طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		7/24	1/4	1/3	1/8

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة فلبرج

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :

	0
	1/4	1/4
	3/8	3/32	9/32
	12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
	1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
	1/2	-8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
		16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
		25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة كاش - كارب

طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة دورمند-برنس

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

الطرق الضمنية

باكورد يولر

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

نقطة الوسط الضمنية

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.

${\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}$

طرق غاوس-ليجندر

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

${\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}$

مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}$

طرق لوباتو

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:

1. طريقة لوباتو IIIA : هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :

معادلة من نوع أمر 2:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

2. طريقة لوباتو IIIB :

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

3. طريقة لوباتو IIIC :

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

طرق رادو

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:

1. طريقة رادو IA : وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

معادلة من نوع أمر 3:

${\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

معادلة من نوع أمر 5:

${\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}$

2. طريقة رادو IIA : وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

معادلة من نوع أمر 3:

${\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}$