كسر مستمر: الفرق بين النسختين

تم إزالة 2 بايت ، ‏ قبل 8 سنوات
ط
لا يوجد ملخص تحرير
ط (←‏المراجع: clean up)
ط
في علم [[رياضيات|الرياضيات]]، '''الكسر المستمر''' هو كسر يمكن أن يأخذ الصيغة التالية :
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
 
حيث ''a''<sub>0</sub> [[عدد صحيح]] والاعداد ''a''<sub>''i''</sub> (''i'' ≠ 0) هي أعداد ''موجبة''. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
 
اذاإذا سمح لكل '''بسط جزئي''' و'''مقام جزئي''' انأن تفرض قيما اختيارية، والتي يمكن انأن تكون دوال رياضية، يصبح التعبير الناتج [[كسر مستمر معمم|كسرا مستمرا معمما]].
 
== تحفيز ==
إن الهدف الرئيسي من وجودتعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت [[عدد حقيقي|للأعداد الحقيقية]].
 
الكثير يعلم عن [[التمثيل العشري]] للأرقام العشرية والتي تعرف بالعلاقة:
حيث ''a''<sub>0</sub> عدد صحيح، وكل ''a''<sub>''i''</sub> اخر هو عنصر في {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد [[باي]] π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (''a''<sub>''i''</sub>) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).
 
لهذا التمثيل بعض المشاكل. احدهاأحدها أن العديد من [[عدد نسبي|الأعداد النسبية]] تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
 
لنتمعن الرقمالعدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو ''أكثر'' بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.
بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4&nbsp;+&nbsp;1/(2&nbsp;+&nbsp;1/(6&nbsp;+&nbsp;1/7)) يعطى الرمز المختصر <nowiki>[4; 2، 6، 7]</nowiki>.
 
 
== حساب تمثيل الكسور المستمرة ==
ليكن لدينا العدد الحقيقي ''r'', وليكن ''i'' الجزء الصحيح و''f'' الجزء الكسري ل ''r''.
وليكن ''i'' الجزء الصحيح و''f'' الجزء الكسري لـ ''r''.
وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة ''r'' is <nowiki>[</nowiki>''i''; …<nowiki>]</nowiki>، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/''f''. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
 
لحساب الكسر المستمر للعدد ''r''، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من ''r''. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وإذاوفقط فقطإذا كان ''r'' نسبينسبيا.
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="none"
 
=== نظرية 3 ===
اذاإذا كان التقارب النوني ''n'' لكسر مستمر هو <math>h_n/k_n</math>، حينئذ
:<math>
k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n.\,