ويكيبيديا

تحويل ليجاندر: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
لا ملخص تعديل
ط clean up باستخدام الأوتوويكي براوزر (8062)
سطر 1:
[[ملف:Legendre_trafo_1d_veranschLegendre trafo 1d veransch.png|thumb |left |320px|رسم يوضح تحويل ليجاندر (أنظر معناه الهندسي).]]
 
'''تحويل ليجاندر''' في [[الرياضيات]] و [[الفيزياء]] (بالإنجليزية:Legendre Transformation ) هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات [[أدريان ليجاندر ]] يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع <math>f(x)</math>
إلى دالة <math>g(u)</math>
 
سطر 18:
 
:<math>g(u)=\pm\left[u\, x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\, u(x)\mp g(u(x))</math>
 
 
== استنباطه ==
السطر 33 ⟵ 32:
 
يصبح الدالة <math>g(u)</math> أيضا معتمدة على المتغير <math>u</math> .
 
 
:<math>\mathrm{d}g=\pm x\,\mathrm{d}u</math>
السطر 61 ⟵ 59:
لذلك يمكننا كتابة
: <math>g = ux - f</math> oder <math>g = f - ux</math>
 
ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة <math>g</math> .
السطر 76 ⟵ 74:
عن طريق التفاضل الجزئي للدالة <math>f</math> بالنسبة إلى <math>x</math> كالآتي:
 
:<math>u = \frac{\partial f}{\partial x}</math>.
 
ويمثل فيها <math>u(x,y)</math> الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة <math>f(x,y)</math> .
السطر 86 ⟵ 84:
ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة <math>f(x,y)</math> على الصورة :
 
:<math>f(x,y) \approx f(x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x,\; \Delta x = x-x_0</math>
 
وإذا عرّفنا
السطر 95 ⟵ 93:
في أغلب اأحوال توضع <math>x_0 = 0</math> ونحصل على :
 
:<math>F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} x</math>.
 
بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء <math>y</math> لنقطة المماس على
السطر 107 ⟵ 105:
 
ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :
 
 
:<math>\mathrm{d}(f(x,y) - u x) = \mathrm{d}f(x,y) - x\,\mathrm{d}u - u\,\mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}F(u,y)</math>.
السطر 113 ⟵ 110:
== تطبيقاته ==
 
يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل [[ترموديناميك | الترموديناميكا الإحصائية]] ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى [[معادلة هاميلتون |ميكانيك هاميلتون]] أو إلى [[ميكانيك لاغرانج ]] .
 
وفي علم [[حركة حرارية| الحركة الحرارية ]] نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع
(<math>g=f-ux</math>).
 
ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي [[الميكانيكا]] و [[حساب التغيرات ]] وفي نظرية [[معادلات تفاضلية |المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى]] . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (<math>g=ux-f</math>) طبقا للمتفق عليه.
 
== مثـال دالة هاميلتون ==
 
في الميكانيكا نستنبط [[معادلة هاميلتون]] من [[ميكانيك لاغرانج|معادلة لاغرانج ]] عن طريق استخدام ''' تحويل ليجاندر''':
 
:<math>H(q,p)=p\,\dot{q}(q,p)-L(q,\dot{q}(q,p))\quad\text{with}\quad p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}</math>
 
وفي [[ترموديناميك|الترموديناميكا]] يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من [[ترموديناميك| المعادلات الأساسية للترموديناميكا ]]. عندئذ يمكن الانتقال من [[طاقة داخلية|الطاقة الداخلية]] ''U'' (وهي تعتمد على [[إنتروبيا |الإنتروبيا]]) ''S'' إلى [[طاقة هيلمهولتز ]] ''F'' التي تعتمد على [[درجة الحرارة]] ''T'':
 
:<math>F(T,V,N) = U(S,V,N) - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} \cdot S = U - T S</math>
السطر 133 ⟵ 130:
''(U(S,V,N'' بانسبة لإنتروبيا ''S'', حيث نضع كلا من ''V'' و ''N'' كثوابت .
 
بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من [[إنثالبي |الإنثالبي]] ''H'' إلى [[طاقة جيبس]] ''G'':
 
:<math>G(T,p,N) = H(S,p,N) - \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,N} \cdot S = (U + p V) - T S</math>
السطر 141 ⟵ 138:
==أمثلة الدالة الأسية==
[[ملف:LegendreExample.svg|left|thumb|200px| رسم الرسم البياني للدالة
e<sup>''x''</sup> بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .]]
 
'''[[الدالة الأسية]] e<sup>''x''</sup> '''
السطر 160 ⟵ 157:
 
==انظر أيضا==
*[[ميكانيك لاغرانج]]
*[[معادلة هاميلتون ]]
*[[ستة درجات حرية]]
*[[جسيم في صندوق]]
*[[جهد يوكاوا]]
*[[معادلة جيبس-هلمهولتز]]
 
[[تصنيف: رياضيات]]▼
 
▲[[تصنيف: رياضيات]]
[[تصنيف:ميكانيكا]]
[[تصنيف : ميكانيكا كلاسيكية]]
 
 
 
 
[[de:Legendre-Transformation ]]
[[en:Legendre transformation]]
[[es:Transformada de Legendre]]
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/تحويل_ليجاندر»