في الرياضيات تعرف دالة بيتا علي انها احد الدوال الخاصة وتعطي بالعلاقة التالية:
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
لكل
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0.
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}
بتكامل أويلر من النوع الاول ، هذه الدالة تعاقب علي دراستها كل من أويلر و ليجاندر و الذي أعطيها ذلك الاسم هو جاك بينيه ، يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له هو β.
خصائص دالة بيتا
تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة جاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
عندما يكون كل من x و y عدد صحيح موجب تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}
حيث أن (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عدد صحيح موجب
وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
(
t
↦
t
+
x
+
y
−
1
)
=
(
t
→
t
+
x
−
1
)
∗
(
t
→
t
+
y
−
1
)
x
≥
1
,
y
≥
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot (t\mapsto t_{+}^{x+y-1})=(t\to t_{+}^{x-1})*(t\to t_{+}^{y-1})\qquad x\geq 1,y\geq 1,\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
العلاقة بين دالة بيتا ودالة جاما
لكي نوجد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين جاما :
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
=
∫
0
∞
∫
0
∞
e
−
u
−
v
u
x
−
1
v
y
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\!}
بتبديل المتغيران بوضع u =zt , v =z (1-t ) يتضح لنا :
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
z
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
e
−
z
z
x
+
y
−
1
d
z
∫
t
=
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
.
{\displaystyle \int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}\ e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz=\int _{z=0}^{\infty }\ e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.\!}
ومن ثم،
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)\,\Gamma (y)=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).}
المشتقات
تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}
حيث
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ \psi (x)}
دالة ثنائي جاما
التكاملات التقريب
يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب استراينج ويعطي الصيغة التالية :
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
دالة بيتا الغير كاملة
تعتبر دالة بيتا الغير كاملة تعميم لدالة بيتا وتعطي من الصيغة:
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
عندما x=1 توؤل دالة بيتا الغير كاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة جاما وتعميماها دالة جاما الغير كاملة .
دالة بيتا الغير كاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا الغير كاملة و الكاملة كالتالي:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة ) سوف نجد:
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
خصائصها
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
I
x
(
a
+
1
,
b
)
=
I
x
(
a
,
b
)
−
x
a
(
1
−
x
)
b
a
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}\,}
حساب دالة بيتا أنظر ايضا المراجع روابط خارجية 
