مصفوفة نقل شعاع: الفرق بين النسختين

تم إزالة 11٬582 بايت ، ‏ قبل 10 سنوات
 
'''تحليل مصفوفة نقل شعاع''' (ب[[الانجليزي]]: Ray transfer matrix analysis) هي تقنية تهتم بتتبع الأشعة تستخدم في تصميم بعض [[نظام بصري|الأنظمة البصرية]] وخاصة أنظمة [[الليزر]],حيث يمكن و صف النظام البصري بعمل مصفوفة عناصرها مسارات [[الضوء]] في النظام ومن ثم ضرب العناصر [[ضرب اتجاهي|ضربا اتجاهي]] في متجهات [[الأشعة الكهرومغناطيسية|الأشعة]] .
 
في هذه التقنية نستخدم تقريب المحاور للشعاع البصري بفرض أن [[زوايا]] جميع الأشعة المنبعثة صغيرة (θ) وتبعد [[مسافة|مسافات]] صغيرة (x) عن المحور البصري للنظام , ويكون التقريب صحيحا عندما sin(θ)≈θ (الزاوية θ مقاسة بال[[راديان]] ) وهي طريقة جيدة للتتبع مسار الأشعة الزوالية ,عند http://spie.org/etop/1991/389_1.pdf .
==تعريف مصفوفة نقل الشعاع==
تعتمد تقنية تتبع الشعاع على محورين مرجعيين ,تعرف بـ محور الإدخال ومحور الإخراج وهي محاور عمودية على المحور البصري للنظام .سوف نحدد المحور البصري بحيث يتوافق مع محور – Z في نظام ذو تنسيق ثابت .
يدخل شعاع الضوء إلى النظام عندما يتقاطع مع محور الإدخال خلال مسافة x1 من المحور البصري مكونا زاوية قدرها θ1 . ويتقاطع مع محور الإخراج خلال مسافة أخرى قدرها x2 مكونا زاوية θ2 ,حيث أن n1 وn2 هي معامل انكسارالوسط الأول والثاني , على التوالي .
 
ترتبط هذه الكميات الثلاثة n و θو x بالعلاقة التالية :
 
:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{x_1 \choose \theta_1}, </math>
 
عندما
 
:<math>A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0},</math>
 
و
 
:<math>C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}.</math>
 
ويرتبط متجه الشعاع الدخل والشعا ع الخارج بواسطة [[مصفوفة]] انتقال الشعاع ray transfer matrix (RTM) M, عندما يقع النظام البصري بين محورين مرجعيين ,وبالاعتماد على نموذج إشعاع [[الجسم الأسود]] في [[الديناميكا الحرارية]] يمكننا حساب محددات المصفوفة RTM (النسبة بين [[معامل انكسار]] الوسط) على النحو التالي :
 
:<math>\det(\mathbf{M}) = AD - BC = { n_1 \over n_2 }. </math>
 
ونتيجة لذلك يقع محور الشعاع الساقط ومحور الشعاع الخارج في نفس الوسط , ويمكن استخدام تقنية مشابهه لتحليل [[الدوائر الكهربائية]] .
 
==بعض الأمثلة==
• مثلا: إذا وجد فضاء حر بين محورين ,تعطى مصفوفة نقل الشعاع بواسطة
 
:<math> \mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>,
 
حيث أن ''d'' هي المسافة الفاصلة بين محوريين مرجعيين (تقاس على طول المحور البصري) , بالتالي تصبح معادلة نقل الشعاع :
 
:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \mathbf{S}{x_1 \choose \theta_1} </math>,
 
:<math> \begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\
\theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix} </math>
 
• مثال آخر بسيط على [[عدسة (توضيح)|العدسات الرقيقة]] , تعطى مصفوفة نقل الشعاع RTM :
 
:<math> \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>,
 
حيث أن ''f'' هو البعد البؤري للعدسة , ولوصف نظام بصري مركب يجب ضرب المصفوفات ضربا اتجاهيا ,
 
:<math>\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.
 
ملاحظة : عملية [[ضرب المصفوفات]] عملية غير إبدالية
 
:<math> \mathbf{SL} =
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>.
 
==جدول مصفوفة نقل الشعاع==
 
 
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|- style="background-color: #AAFFCC"
! عنصر
! مصفوفة
! ملاحظات
|-
| انتشار [[الضوء]] في وسط ذو معامل انكسار ثابت
| align="center" |<math>\begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''d'' = المسافة<br/>
|-
| انكسار الضوء عن سطح أملس
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''n''<sub>1</sub> = معامل انكسار الوسط الأول<br/>
''n''<sub>2</sub> =معامل انكسار الوسط الثاني.
|-
| [[انكسار الضوء]] عن سطح منحني
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''R'' = [[قطر (رياضيات)|قطر الإنحناء]], ''R'' > 0 (مركز الإنحناء)<br/>
''n''<sub>1</sub> = معامل انكسار الوسط الأول<br/>
''n''<sub>2</sub> = معامل انكسار الوسط الثاني.
|-
| [[انعكاس الضوء]] على سطح [[مرآة]] مستوية
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
|
|-
| انعكاس الضوء من مرآة منحنية
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''R'' = نصف قطر الإنحناء, R > 0 إذا كانت المرآة مقعرة
|-
| عدسة رقيقة
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''f'' = [[البعد البؤري]] لل[[عدسة (بصريات)|عدسة]] ,عندما ''f'' > 0 للمرآة المحدبة/موجب .
يقرب إذا كان البعد البؤري أكبر بكثير من سمك العدسة.
|-
| Single right angle prism
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} k & \frac{d}{nk} \\ 0 & \frac{1}{k} \end{pmatrix} </math>
| ''k'' = (cos<math>\psi</math>/cos<math>\phi</math>) سعة الشعاع المتجه, where <math>\phi</math> زاوية السقوط, <math>\psi</math> زاوية الإنكسار, ''d'' = [[طول]] مسار المنشور, ''n'' = معامل انكسار مادة [[المنشور]]. هذه المصفوفة صالحة للتطبيق على الشعاع العمودي الخارج .
|}
 
==مرنان مستقر==
يمكن نمذجة (وصف) شعاع صادر من [[مرنان]] مستقر بواسطة تحليل مصفوفة نقل شعاع ,مثل مصفوفة شعاع الليزر, أبسط أنظمة المرنان يضم مرآتان متقابلتان ذات انعكاسية قدرها 100% ونصف قطر انحناء R تفصل بينهما مسافة d , ولتتبع مسار شعاع تستخدم سلسلة عسات بعدها البؤري f=R/2 تبعد كل عدسة عن أخرى مسافة d
 
:<math>\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.
 
الآن نستخدم مصفوفة RTM للتحقق من استقرار [[الطول الموجي]]
 
:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \lambda {x_1 \choose \theta_1} </math>.
 
فينتج
 
:<math> \mathbf{M}{x_1 \choose \theta_1} = \lambda {x_1 \choose \theta_1} </math>,
 
حيث أن معادلة [[القيم الذاتية]]
 
:<math> \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] {x_1 \choose \theta_1} = 0 </math>
 
حيث أن المصفوفة '''I''' هي مصفوفة 2x2 , وبالتبسيط نحصل على
 
:<math>\operatorname{det} \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0 </math>
 
بالتالي نحصل على معادلة القيم المميزة
 
:<math> \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0 </math>
 
عندما
 
:<math> \operatorname{tr} ( \mathbf{M} ) = A + D = 2 - { d \over f } </math>
 
أثر [[الجبر الخطي]] للمصفوفة RTM , و
 
:<math>\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC = 1 </math>
 
[[محدد المصفوفة]]
 
:<math> \lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0 \, </math>
 
عندما
 
:<math> g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f } </math>
 
حيث أن حلول المعادلة المميزة هي القيم الذاتية ومعامل الإستقرار .وبتربيع المعادلة نحصل على
 
:<math> \lambda = g \pm \sqrt{g^2 - 1} \, </math>
 
:<math> {x_N \choose \theta_N} = \lambda^N {x_1 \choose \theta_1} </math>.
 
إذاكان الطول الموجي مستقر λ<sup>N</sup>
 
 
:<math>\operatorname{Im} \{ \lambda \} \ne 0 </math>
 
:<math> g^2 - 1 < 0 \, </math>
 
أو
 
:<math> |g| < 1 \, </math>
 
حل معادلة القيم الذاتية هو حل دوري
 
:<math> \lambda^N = e^{\pm i N \phi} </math>,
 
أو
 
:<math> \lambda = e^{ \pm i \phi } </math>,
 
عندما
 
:<math> \cos(\phi) = \operatorname{Re} \{ \lambda \} = g = { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f } </math>
 
ويمكن تعميم هذه النتيجة للمرنان المركب .
 
==مصفوفة نقل الشعاع لحزم جاوسية ==
مصفوفة وصف نقل الشعاع لحزم [[جاوس (توضيح)|جاوس ]] ذات طول موجي λ ونصف قطر انحناء Rونصف قطر w
 
:<math> \frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda}{\pi w^2} </math>.
 
:<math> {q_2 \choose 1} = k \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} {q_1 \choose 1} </math>,
 
''k'' ثابت طبيعي , وبضرب المصفوفة
 
:<math> q_2 = k(Aq_1 + B) \,</math>
 
و
 
 
:<math> 1 = k(Cq_1 + D) \, </math>
 
وبقسمة المعادلة الأولى على المعادلة الثانية
 
:<math> q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}</math>,
 
:<math> { 1 \over q_2 } = { C + D/q_1 \over A + B/q_1 } . </math>
==مراجع==
* {{cite book | title = Fundamentals of Photonics | author = [[Bahaa E. A. Saleh]] and Malvin Carl Teich | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | year = 1991 }} Section 1.4, pp. 26 - 36.
*{{cite book | title = Matrix methods in optics | author = A. Gerrard B. Burch | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | year = 1975 }}
*{{cite book | title = Tunable Laser Optics | author = [[F. J. Duarte]] | publisher = Elsevier-Academic | location = New York | year = 2003 }} Chapter 6.
==روابط إضافية==
* [http://physics.tamuk.edu/~suson/html/4323/thick.html#Matrix Thick lenses (Matrix methods)]
* [http://www.photonics.byu.edu/ABCD_Matrix_tut.phtml ABCD Matrices Tutorial] Provides an example for a system matrix of an entire system.
* [http://www.photonics.byu.edu/ABCD_Calc.phtml ABCD Calculator] An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
 
[[تصنيف:بصريات]][[تصنيف:فيزياء]]
 
 
[[En: Ray transfer matrix analysis]]
[[de:Matrizenoptik]]
[[fa:ماتریس انتقال پرتو]]
[[it:Ottica matriciale]]
#تحويل [[تحليل مصفوفة نقل شعاع]]