عاملي: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط بوت:تدقيق إملائي V2.2 |
ط بوت: إصلاح التحويلات وسم: وصلات صفحات توضيح |
||
سطر 1:
{{عن|3=! (توضيح)}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''المضروب''' أو '''العاملي''' لعدد صحيح طبيعي ''n''، والذي يكتب <math>n!</math>، والذي يقرأ "عاملي n"، هو [[
فيما يلي مثال 5 عاملي:
سطر 8:
و تعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون <math>0! = 1</math> ذلك أن 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مختصر أي عدد مضروب في صفر يساوي صفر في عملية الضرب.
تظهر دالة العاملي في مجالات مختلفة من الرياضيات، وخصوصا في [[تركيبات|التوافقيات]] و[[جبر|الجبر]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]. أبسط مثال على ذلك، وجود ''!n'' طريقة مختلفة لترتيب عناصر مجموعة عددهم مساو ل n (أي عدد [[تبديل (رياضيات)|التبديلات]] لعناصر هذه المجموعة). عرفت هذه الحقيقة على الأقل منذ القرن الثاني عشر الميلادي، من طرف علماء الرياضيات الهنديين. ويظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل [[مبرهنة ذي الحدين|صيغة الثنائي الحد]] ل[[إسحاق نيوتن|نيوتن]] وصيغة [[بروك تايلور|تايلور]]. إستُعمل رمز علامة التعجب (!) للتعبير عن دالة عاملي لأول مرة من طرف عالم الرياضيات [[كريستيان كرامب]] وكان ذلك عام 1808.
يمكن لتعريف دالة عاملي أن [[عاملي#دالتا غاما و π|يمدد إلى أعداد غير صحيحة]] بدون المساس بخصائص هذه الدالة. هذه العملية تستلزم تقنيات متطورة في الرياضيات وخصوصا تلك المستقاة من [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].
سطر 17:
:<math>n! = \prod_{i=1}^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n</math>
أو عن طريق [[
:<math> n! = \begin{cases}
سطر 34:
== نظرية الأعداد ==
لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال [[نظرية الأعداد]]. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] الأصغر من أو تساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، [[
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n</math>
سطر 47:
عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي [[متعددة الحدود|متعددة حدود]] ومن أي [[نمو أسي|دالة أسية]] ل n.(ولكنها تبقى أبطأ من [[دالة الأس المزدوج]]).
أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب [[
<math>\log n! = \sum_{x=1}^n \log x.</math>.
سطر 86:
<nowiki>;;</nowiki>
</div>
و في لغة [[سي (توضيح)|سي]]:
<syntaxhighlight lang="c">
int recursive_factorial(int n)
سطر 107:
}
</syntaxhighlight>
و في لغة [[بايثون (توضيح)|بايثون]]:
<syntaxhighlight lang="python">
def factSimple(num) :
سطر 135:
print("5! = " +str(factLambda(5))) #on the screen : 5! = 120
</syntaxhighlight>
و في لغة [[جافا سكريبت|جافاسكربت]]:
<syntaxhighlight lang="javascript">
function fact(n){
سطر 164:
[[ملف:Factorial Interpolation.svg|thumb|320px|دالة غاما تستوفي دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة.]]
لكل عدد صحيح ''n''، لدينا <math>\Gamma(n+1) = n! </math> حيث Γ هي دالة [[ليونهارت أويلر|أويلر]]([[دالة غاما]]) وضعها [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]]. وتمكننا هاته الدالة من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. وفي النهاية نجد:
:<math>\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t=z! \ \forall z>-1</math>
سطر 171:
=== [[عاملي ثنائي]] ===
{{مفصلة|عاملي ثنائي}}
يطلق على [[جداء]] جميع [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] من 1 إلى {{Mvar|n}} والتي لها نفس [[أعداد زوجية
يمكن أن نعرفها بواسطة متسلسلة الجداء:
سطر 178:
: <math>n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil - 1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots </math>
حيث <math>\left\lceil n\right\rceil</math> هو [[دالتا الجزء الصحيح
على سبيل المثال، {{تعبير رياضي|9!! {{=}} 9 × 7 × 5 × 3 × 1 {{=}} 945}}.
سطر 207:
* [[عدد مثلثي|الأعداد المثلثية]]
* [[تقريب ستيرلينغ]]
* [[عاملي عدد أولي|عاملي أعداد أولية]]
== مراجع ==
| |||