عملية تبديلية: الفرق بين النسختين

أُزيل 438 بايت ، ‏ قبل 5 أشهر
لا يوجد ملخص تحرير
لا ملخص تعديل
[[ملف:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|تصغير|العملية التبادلية: تعني رياضياً '''إذا وفقط إذا''' ''if and only if'' كانت "x \ y = y \ x" لكلٍّ من القيمتين (أو المتحولين): ''x'' و ''y''. توضح هذه الصورة هذه الخاصية في مفهوم العملية باعتبارها "آلة حساب". لا يهم ترتيب (أو موضع) القيمتين (أو المتحولين) ''x'' و''y'' في العملية الرياضية طالما أن النتيجة النهائية تبقى هي نفسها.]]
 
في [[الرياضيات]] '''العملية التبادلية''' أو -أحياناً- '''التبديلية''' {{إنج|Commutativity}}<ref group="هامش">تُعتبر الصفة "تبادلية" أدق -فيمن حيث المعنى- من "تبديلية" بسبب زيادة ألف المفاعلة عليها: "بَدَلَ؛ بادل"، والتي تدل على التفاعل، أو تبادل الفعل بين كينونتين، شيئين، شخصين، أمرين... الخ مثل "لعب، لاعب"، "عمل، عامل"، "قتل، قاتل"، "شغل، شاغل".</ref> هي قابلية العملية الرياضية لتبديل مواضع مُدْخلاتها دونما تغيّرٍ في النتيجة.<ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Copi |الأول=Irving M. |الأخير2=Cohen |الأول2=Carl |عنوان=Introduction to Logic |وصلة=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 |ناشر=Prentice Hall |سنة=2005}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=A Concise Introduction to Logic 4th edition |وصلة=https://archive.org/details/studyguidetoacco00burc |الأخير=Hurley |الأول=Patrick |مؤلفين مشاركين= |سنة=1991 |ناشر=Wadsworth Publishing }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|ناشر=[[دار نشر جامعة أكسفورد]]|سنة=2011|مسار=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|صفحة=4| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190614002757/https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4 | تاريخ أرشيف = 14 يونيو 2019 }}</ref> وهي إحدى الخصائص الأساسية في العديد من فروع الرياضيات.
 
في [[الرياضيات]] تكون العملية الثنائية تبادليةً إذا [وفقط إذا] كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وعليها يعتمد العديد من البراهين الرياضية. والأكثر شيوعاً [للتدليل عليها] -مثل اسم الخاصية- المقولة التي تقول شيئاً ما مثل:<br />"3 + 4 = 4 + 3"، أو "2 × 5 = 5 × 2"<br />يمكن أيضاً استخدام هذه الخاصية في إعداداتٍ أكثر تقدماً. تحديد اسم "العملية التبادلية" مطلوب لأنه ثمة عملياتٌ مثل القسمة والطرح لا تتضمن هذه الخاصية التبادلية<br />(على سبيل المثال: "3 - 5 ≠ 5 - 3")<br />فهذه العمليات ليست تبادليةً، ولذلك يشار إليها بـ"'''العمليات غير التبادلية'''". إن الفكرةَ القائلة بأن العملياتِ البسيطةَ -مثل "ضرب" الأرقام و"جمعها"- هي عمليات تبادلية كانت مفترضةً ضمنياً لسنواتٍ عديدةٍ خلت. ولهذا لم تجرِ تسمية هذه الخاصية حتى [[القرن التاسع عشر]] عندما شرعتِبدأتِ الرياضيات تغدو موحدةً.<ref name="Cabillón" /><ref name=Flood11 /> توجد خاصية مقابلة للعلاقات الثنائية؛ يُقال إن العلاقةَ الثنائية متماثلةٌ إذا كانتِ العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب معاملاتها؛ على سبيل المثال [علاقة] المساواة متماثلةٌ حيث إن كائنين رياضيين متساويان بغض النظر عن ترتيبهما.<ref>{{MathWorld|id=SymmetricRelation|title=Symmetric Relation}}</ref> كما في قولنا:<br />"x = y، وكذلك "y = x".
"x = y"، وكذلك "y = x".
 
== الاستخدامات الشائعة ==
الخاصية التبادلية (أو القانون التبادلي) هي خاصية مرتبطة بشكلٍ عامٍّ بالعمليات والوظائف الثنائية. إذا كانت الخاصية التبادلية صحيحةً لزوجٍ من العناصر في إطار عمليةٍ ثنائيةٍ معينةٍ، فيقال عندئذٍ إن العنصرين يتبادلان في إطار تلك العملية.
 
== التعاريفالمفاهيم الرياضية ==
 
في [[الرياضيات]] وبخاصةٍ-ولا سيما في [[الجبر التجريدي]]- تكون [[عملية ثنائية]] ما <math>\times </math> معرفةمعرفةً على [[مجموعة]] ''S'' '''تبديليةتبادليةً''' إذا حققتحققتِ الشرط التالي :
تسمى العملية الثنائية "الضرب" أو "<math>\times </math>" أو "'''<math>*</math>'''" على المجموعة "S" تبادليةً إذا كان:<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
 
:<math>x\times y = y\times x</math>
 
أياأيّاً كان ''x'' و''y'' ضمن المجموعة ''S''. وإلاأو فإنبتعبيرٍ آخرَ في العملية '''غير<math>*</math> تبديلية'''.إذا كان:
 
<math display="block">x * y = y * x\qquad\mbox {for all } x,y\in S.</math>
<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
 
وتسمى العملية التي لا تفي بالخاصية المذكورة أعلاه غير تبادليةٍ.
 
يقالويقال عندئذٍ إن x يتبادل مع y، أو إن x وy يتبادلان في العملية <math>*</math> [الضرب]أو إن x وy متبادلان إذا كان:
 
<math display="block"> x * y = y * x.</math>
<math display="block">f(x, y) = f(y, x)\qquad\mbox {for all } x,y\in A.</math>
 
مثل هذه الوظيفة تدعى بشكلٍ أكثر شيوعاً تسمى بالوظيفة"الوظيفة المتماثلة".
 
== المعنى الرياضي ==
 
في [[الرياضيات]] وبخاصةٍ [[الجبر التجريدي]] تكون [[عملية ثنائية]] ما <math>\times </math> معرفة على [[مجموعة]] ''S'' '''تبديلية''' إذا حققت الشرط التالي :
 
:<math>x\times y = y\times x</math>
 
أيا كان ''x'' و''y'' ضمن المجموعة ''S''. وإلا فإن العملية '''غير تبديلية'''.
 
عندئذ، يقال عن ''x'' و''y'' أنهما ''متبادلان''.
 
من أشهر العمليات التبديلية [[الجمع]] و[[الضرب]] ضمن [[أعداد حقيقية|مجموعة الأعداد الحقيقية]]; مثلا:
* 4 + 5 = 5 + 4 (بما أن كلا [[تعبير (رياضيات)|التعبيرين]] مساويان ل 9)
* 2 × 3 = 3 × 2 (بما أن كلا التعبيرين مساويان ل 6)
 
من ضمنأمثلة العمليات غير التبديلية,التبادلية [[طرح|الطرح]] و[[قسمة|القسمة]] والرفع إلى [[أس]] و[[تركيب الدوال]] (''f''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''g''),، و[[tetration]] أو (''a''↑↑''b'')، وجداء [[مصفوفة|المصفوفات]].
 
== أمثلة ==
=== العمليات التبادلية في الحياة اليومية ===
 
[[ملف:Commutative Addition.svg|يسار|تصغير|220 بك|مثال يظهر العملية التبادلية في عملية [[الجمع|جمع]] التفاح (3+2 = 2+3)، والذي يمكن النظر إليه على أنه جمعٌ في مجموعة الأعداد الطبيعية.]]
 
* عملية التشفير وفك التشفير في أمن المعلومات الحاسوبية تعدّ عمليةً تبادليةً، حيث إن فك التشفير لا يهتم بترتيب التشفير، وكمثالوكمثالٍ على ذلك '''[[لعبة البوكر العقلية]]'''.
 
* يعتبر ارتداء الحذاء عمليةً تبادليةً، لأنه لا يهم إذا مابدأتِ العملية بالقدم اليسرى أم اليمنى. وبالمثل يشبه ارتداء الجوارب عمليةً تبادليةً حيث إن ارتداء أيٍّ من الجوربين أولاً غير مهمٍّ، ففي كلتا الحالتين النتيجة (ارتداء كلا الجوربين) هي نفسها. في المقابل فإن ارتداء الملابس الداخلية والسراويل ليس تبادلياً.
مثالان مشهوران للعمليات الثنائية التبادلية:<ref name="Krowne, p.1"/>
 
* [[الجمع|جمع]] "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" تبادلي طالما أن:<br />
<math display="block">y + z = z + y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "4 + 5 = 5 + 4" بما أن كلا التعبيرين يساوي 9.
 
* [[الضرب|ضرب]] "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" تبادلي طالما أن:<br />
<math display="block">y z = z y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "3 × 5 = 5 × 3" بما أن كلا التعبيرين يساوي 15.
 
كنتيجةٍ مباشرةٍ لهذا فإنه من الصحيح أيضاً أن التعبيرات على الشكل y٪ من z، وكذلك z٪ من y هي تبادلية لجميع "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" y وz
<ref>{{cite web |url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |title=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems |access-date=2020-07-17 | مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20201015153420/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html | تاريخ الأرشيف = 15 أكتوبر 2020 }}</ref> على سبيل المثال فإن: 64٪ من 50 = 50٪ من 64، لأن كلا التعبيرين يساوي 32، كما أن: 30٪ من 50٪ = 50٪ من 30٪، لأن كلا التعبيرين يساوي 15٪.
 
* تسلسل الحروف، إن عملية تبديل ترتيب الحروف في الكلمة الواحدة هو عملية غير تبادليةٍ، لأنه بتغير أماكن الحروف غالباً ما تنتج كلمة جديدة تختلف عن الكلمة الأصلية: "قاربَ"، و"راقبَ" مثلاً.<br />كذلك الأمر: ''EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA''.
* يشبه غسيل ​​وتنشيف الملابس عمليةً غير تبادليةٍ، إذ يؤدي الغسيل ثم التجفيف إلى نتيجةٍ مختلفةٍ بشكلٍ ملحوظٍ عن التجفيف ثم الغسيل.
* يؤدي تدوير الكتاب بمقدار 90 درجة حول محورٍ رأسيٍّعموديٍّ ثم بـ 90 درجة حول محورٍ أفقيٍّ إلى إنتاج اتجاهٍ مختلفٍ عما هو عليه عند إجراء التدويرات بالترتيب المعاكس.
* حركات أي لغزٍ تركيبيٍّ (مثل تقليبات "مكعب روبيك" على سبيل المثال) غير تبادليةٍ. يمكن دراسة ذلك باستخدام نظرية المجموعة.
* عمليات التفكير غير تبادليةٍ: إذا طرح شخص سؤالاً (أ)، ثم السؤال (ب) فقد يعطي إجاباتٍ مختلفةً لكل سؤالٍ عن شخصٍ طرح أولاً (ب)، ثم (أ)، لأن طرح سؤالٍ ما قد يغير حالة عقل الشخص، [واتجاه تفكيره].
تعتبر العمليات الرياضية "الطرح" {{إنج|''Subtraction''}}، و"القسمة" {{إنج|''Division''}}، و"الأس" {{إنج|''Exponentiation''}} بعض العمليات الثنائية غير التبادلية:<ref>{{harvnb|Yark|p=1}}</ref>
 
* [[الطرح]] غير تبادليٍّ بما أن:<br />
<math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>.
<br />وعلى كلٍّ يجري تصنيف "الطرح" بشكلٍ أكثرَ دقةً على أنه "عكس التبادل" {{إنج|''anti-commutative''}} حيث: <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>.
* [[القسمة]] غير تبادليةٍ بما أن:<br />
<math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.
* الأسالرفع إلى [[أس]] غير تبادليٍّ بما أن:<br />
<math>2^3\neq3^2</math>.
 
=== وظائف مجموعة الأعداد الحقيقية ===
 
بعض وظائف مجموعة [[الأعداد الحقيقية]] غير تبادليةٍ، لأن جداول هذه المجموعة للوظائف تختلف عندما يغير المرء ترتيب المعاملات {{إنج|''operands''}}. على سبيل المثال جداول الأعداد الحقيقية لـ (A ⇒ B) = (A ∨ B¬) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي:
{{aligned table
| class=wikitable