9٬945
تعديل
لا يوجد ملخص تحرير
أسامةالفاروسي (نقاش | مساهمات) (←أمثلة) |
أسامةالفاروسي (نقاش | مساهمات) لا ملخص تعديل |
||
|
[[ملف:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|تصغير|العملية التبادلية: تعني رياضياً '''إذا وفقط إذا''' ''if and only if'' كانت "x \ y = y \ x" لكلٍّ من القيمتين (أو المتحولين): ''x'' و ''y''. توضح هذه الصورة هذه الخاصية في مفهوم العملية باعتبارها "آلة حساب". لا يهم ترتيب (أو موضع) القيمتين (أو المتحولين) ''x'' و''y'' في العملية الرياضية طالما أن النتيجة النهائية تبقى هي نفسها.]]
في [[الرياضيات]] '''العملية التبادلية''' أو -أحياناً- '''التبديلية''' {{إنج|Commutativity}}<ref group="هامش">تُعتبر الصفة "تبادلية" أدق -
في [[الرياضيات]] تكون العملية الثنائية تبادليةً إذا [وفقط إذا] كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وعليها يعتمد العديد من البراهين الرياضية. والأكثر شيوعاً [للتدليل عليها] -مثل اسم الخاصية- المقولة التي تقول شيئاً ما مثل:<br />"3 + 4 = 4 + 3"، أو "2 × 5 = 5 × 2"<br />يمكن أيضاً استخدام هذه الخاصية في إعداداتٍ أكثر تقدماً. تحديد اسم "العملية التبادلية" مطلوب لأنه ثمة عملياتٌ مثل القسمة والطرح لا تتضمن هذه الخاصية التبادلية<br />(على سبيل المثال: "3 - 5 ≠ 5 - 3")<br />فهذه العمليات ليست تبادليةً، ولذلك يشار إليها بـ"'''العمليات غير التبادلية'''". إن الفكرةَ القائلة بأن العملياتِ البسيطةَ -مثل "ضرب" الأرقام و"جمعها"- هي عمليات تبادلية كانت مفترضةً ضمنياً لسنواتٍ عديدةٍ خلت. ولهذا لم تجرِ تسمية هذه الخاصية حتى [[القرن التاسع عشر]] عندما
"x = y"، وكذلك "y = x".
== الاستخدامات الشائعة ==
الخاصية التبادلية (أو القانون التبادلي) هي خاصية مرتبطة بشكلٍ عامٍّ بالعمليات والوظائف الثنائية. إذا كانت الخاصية التبادلية صحيحةً لزوجٍ من العناصر في إطار عمليةٍ ثنائيةٍ معينةٍ، فيقال عندئذٍ إن العنصرين يتبادلان في إطار تلك العملية.
==
في [[الرياضيات]]
:<math>x\times y = y\times x</math>▼
<math display="block">x * y = y * x\qquad\mbox {for all } x,y\in S.</math>
<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
وتسمى العملية التي لا تفي بالخاصية المذكورة أعلاه غير تبادليةٍ.
<math display="block"> x * y = y * x.</math>
<math display="block">f(x, y) = f(y, x)\qquad\mbox {for all } x,y\in A.</math>
مثل هذه الوظيفة تدعى بشكلٍ أكثر شيوعاً
▲في [[الرياضيات]] وبخاصةٍ [[الجبر التجريدي]] تكون [[عملية ثنائية]] ما <math>\times </math> معرفة على [[مجموعة]] ''S'' '''تبديلية''' إذا حققت الشرط التالي :
▲:<math>x\times y = y\times x</math>
▲أيا كان ''x'' و''y'' ضمن المجموعة ''S''. وإلا فإن العملية '''غير تبديلية'''.
من
== أمثلة ==
=== العمليات التبادلية في الحياة اليومية ===
[[ملف:Commutative Addition.svg|يسار|تصغير|220 بك|مثال يظهر العملية التبادلية في عملية [[الجمع|جمع]] التفاح (3+2 = 2+3)، والذي يمكن النظر إليه على أنه جمعٌ في مجموعة الأعداد الطبيعية.]]
* عملية التشفير وفك التشفير في أمن المعلومات الحاسوبية تعدّ عمليةً تبادليةً، حيث إن فك التشفير لا يهتم بترتيب التشفير،
* يعتبر ارتداء الحذاء عمليةً تبادليةً، لأنه لا يهم إذا مابدأتِ العملية بالقدم اليسرى أم اليمنى. وبالمثل يشبه ارتداء الجوارب عمليةً تبادليةً حيث إن ارتداء أيٍّ من الجوربين أولاً غير مهمٍّ، ففي كلتا الحالتين النتيجة (ارتداء كلا الجوربين) هي نفسها. في المقابل فإن ارتداء الملابس الداخلية والسراويل ليس تبادلياً.
مثالان مشهوران للعمليات الثنائية التبادلية:<ref name="Krowne, p.1"/>
* [[الجمع|جمع]] "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" تبادلي طالما أن:<br />
<math display="block">y + z = z + y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "4 + 5 = 5 + 4" بما أن كلا التعبيرين يساوي 9.
* [[الضرب|ضرب]] "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" تبادلي طالما أن:<br />
<math display="block">y z = z y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "3 × 5 = 5 × 3" بما أن كلا التعبيرين يساوي 15.
كنتيجةٍ مباشرةٍ لهذا فإنه من الصحيح أيضاً أن التعبيرات على الشكل y٪ من z، وكذلك z٪ من y هي تبادلية لجميع "[[أعداد حقيقية|الأعداد الحقيقية]]" y وz
<ref>{{cite web |url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |title=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems |access-date=2020-07-17 | مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20201015153420/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html | تاريخ الأرشيف = 15 أكتوبر 2020 }}</ref> على سبيل المثال فإن: 64٪ من 50 = 50٪ من 64، لأن كلا التعبيرين يساوي 32، كما أن: 30٪ من 50٪ = 50٪ من 30٪، لأن كلا التعبيرين يساوي 15٪.
* تسلسل الحروف، إن عملية تبديل ترتيب الحروف في الكلمة الواحدة هو عملية غير تبادليةٍ، لأنه بتغير أماكن الحروف غالباً ما تنتج كلمة جديدة تختلف عن الكلمة الأصلية: "قاربَ"، و"راقبَ" مثلاً.<br />كذلك الأمر: ''EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA''.
* يشبه غسيل وتنشيف الملابس عمليةً غير تبادليةٍ، إذ يؤدي الغسيل ثم التجفيف إلى نتيجةٍ مختلفةٍ بشكلٍ ملحوظٍ عن التجفيف ثم الغسيل.
* يؤدي تدوير الكتاب بمقدار 90 درجة حول محورٍ
* حركات أي لغزٍ تركيبيٍّ (مثل تقليبات "مكعب روبيك" على سبيل المثال) غير تبادليةٍ. يمكن دراسة ذلك باستخدام نظرية المجموعة.
* عمليات التفكير غير تبادليةٍ: إذا طرح شخص سؤالاً (أ)، ثم السؤال (ب) فقد يعطي إجاباتٍ مختلفةً لكل سؤالٍ عن شخصٍ طرح أولاً (ب)، ثم (أ)، لأن طرح سؤالٍ ما قد يغير حالة عقل الشخص، [واتجاه تفكيره].
تعتبر العمليات الرياضية "الطرح" {{إنج|''Subtraction''}}، و"القسمة" {{إنج|''Division''}}، و"الأس" {{إنج|''Exponentiation''}} بعض العمليات الثنائية غير التبادلية:<ref>{{harvnb|Yark|p=1}}</ref>
* [[الطرح]] غير تبادليٍّ بما أن:<br />
<math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>.
<br />وعلى كلٍّ يجري تصنيف "الطرح" بشكلٍ أكثرَ دقةً على أنه "عكس التبادل" {{إنج|''anti-commutative''}} حيث: <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>.
* [[القسمة]] غير تبادليةٍ بما أن:<br />
<math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.
*
<math>2^3\neq3^2</math>.
=== وظائف مجموعة الأعداد الحقيقية ===
بعض وظائف مجموعة [[الأعداد الحقيقية]] غير تبادليةٍ، لأن جداول هذه المجموعة للوظائف تختلف عندما يغير المرء ترتيب المعاملات {{إنج|''operands''}}. على سبيل المثال جداول الأعداد الحقيقية لـ (A ⇒ B) = (A ∨ B¬) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي:
{{aligned table
| class=wikitable
| |||