توزيع احتمالي طبيعي: الفرق بين النسختين

أُضيف 15 بايت ، ‏ قبل 10 أشهر
ط
مراجعة سريعة
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
ط (استرجاع تعديلات 197.252.209.59 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Tarikhejtemai)
وسم: استرجاع
ط (مراجعة سريعة)
}}
 
في [[نظرية الاحتمال|نظرية الاحتمالات]]، '''التوزيع الطبيعي''' (أو '''الغاوسي''') هو [[توزيع احتمال#توزيعات احتمالية مستمرة|توزيع احتمالي مستمر]] كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم - غالباً تقريبا- تقريباً أولياأولياً لوصف [[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]] التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط [[دالة الكثافة الاحتمالية|تابع كثافة الاحتمال]] المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف ب[[دالة غاوسية|الدالة الغاوسية]] أو ''منحني الجرس''.
: <math>
f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
</math>
 
حيث ''μ'' هو [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] (مكان الذروة)، و''σ''<sup> 2</sup>'' هو ال[[تباين (توضيح)|تباين]] (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع {{بدون لف|''μ'' {{=}} 0''}} و{{بدون لف|''σ''<sup> 2</sup> {{=}} 1''}} فإنه يسمى '''التوزيع الطبيعي المعياري'''.
 
يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في [[مبرهنة النهاية المركزية]]، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً ل[[مبرهنة النهاية المركزية]]، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من [[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]] بعدد منته من [[متوسط (توضيح)|المتوسطات]] و[[تباين (توضيح)|التباينات]] يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء و[[علوم طبيعية|العلوم الطبيعية]] و[[علم الاجتماع|العلوم الاجتماعية]] <ref>[https://archive.is/20120710054109/findarticles.com/p/articles/mi_g2699/is_0002/ai_2699000241 Gale Encyclopedia of Psychology — Normal Distribution] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131019115006/https://archive.is/20120710054109/findarticles.com/p/articles/mi_g2699/is_0002/ai_2699000241 |date=19 أكتوبر 2013}}</ref> [[نموذج (توضيح)|نموذجانموذجاً]] بسيطابسيطاً للتعامل مع ظواهر معقدة. على سبيل المثال، [[خطأ الملاحظة]] في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب [[انتشار اللايقين]] باستخدام هذا الافتراض أيضاً.
على سبيل المثال، [[خطأ الملاحظة]] في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب [[انتشار اللايقين]] باستخدام هذا الافتراض أيضاً.
 
انظر إلى [[توزيع ستيودنت الاحتمالي]] وإلى [[توزيع كوشي]] وإلى [[توزيع لوجستي|التوزيع اللوجستي]].
الدالّة <math>\varphi : \R \to \R^+</math> بحيث <math>\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}</math>
 
هي [[دالة الكثافة الاحتمالية|دالة كثافة احتمالية]] : هي متواصلة وتكاملها على <math>\ \R</math> يساوي 1.
 
نعلم أن <math>\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\ dt = \sqrt{2\, \pi}</math> [[تكامل غاوسي]].
 
ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقاانطلاقاً من دالة الكثافة هذه
له [[قيمة متوقعة]] تساوى 0 و[[تباين (توضيح)|تباينا]] يساوي 0.
 
* الكثافة <math>\varphi</math> متناظرة حول النقطة x=μ والتي تمثل في نفس الوقت، [[منوال]] التوزيع و[[وسيط (إحصاء)|وسيطه]] وقيمته المتوقعة.
* [[أحادي المنوال]].
* يمكن اشتقاق هذه الدالة عدداعدداً لا متناهيامتناهياً من المرّات وتحقق مهما كان <math>\ t \in \R</math> المعادلة التالية <math>\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)</math>.
* القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
* كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
وهي تكامل <math>\varphi</math> ونهايتها في <math>-\infty</math> تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.
 
خاصيات الدالة <math>\Phi</math> :
* قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و<math>\Phi' = \varphi</math>.
* نامية حصرياحصرياً وتنتهي إلى 0 في <math>-\infty</math> وإلى 1 في <math>+\infty</math>.
 
== مبرهنة النهاية المركزية ==
 
== التاريخ ==
في عام 1733 وضع [[أبراهام دي موافر|Abraham De Moivre]] نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بنائا على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام [[كارل فريدريش غاوس|Carl Frieddrich Gauss]] بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أحذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف ايضاً باسم Gaussion distribution.
 
[[ملف:Carl Friedrich Gauss.jpg|تصغير|180px|يمين|[[كارل فريدريش غاوس]] اكتشف التوزيع الطبيعي في عام 1809 أثناء عمله على [[مربعات دنيا|طريقة المربعات الدنيا]].]]
في عام 1733 وضع [[أبراهام دي موافر|Abraham De Moivre]] نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بنائابنائاً على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام [[كارل فريدريش غاوس|Carl Frieddrich Gauss]] بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أحذأخذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف ايضاًأيضاً باسم Gaussion distribution.
 
 
 
== مراجع ==
3٬503

تعديل