صيغة هيرو: الفرق بين النسختين
| [مراجعة غير مفحوصة] | [مراجعة غير مفحوصة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
وسوم: تحرير من المحمول تعديل في تطبيق الأجهزة المحمولة تعديل بتطبيق أندرويد |
لا ملخص تعديل وسمان: تغير في القوالب تحرير مرئي |
||
سطر 4:
==صيغة القانون==
[[ملف:Triangle with notations 2.svg|تصغير|مثلث له أضلاع ''b''، ''a'' و''c'']]تنص صيغة هيرو على أن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة a, b, c معروفة هي:
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
السطر 15 ⟵ 14:
:<math>A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}</math>
:<math>A={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}</math>
:<math>
▲:<math>A={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.</math>
A=\frac\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}{4}
</math>
== تعميم الصيغة للشكل الرباعي ==▼
:<math>
===شكل رباعي عامتا===▼
A=\frac\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4}
[[ملف:Quadrilateral ABCDE.png|تصغير|شكل رباعي غير منتظم]]▼
</math>
يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين.▼
:إذا افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:▼
:<math>A=\frac{\sqrt{(A^2 + D^2 + E^2)^2 - 2(A^4 + D^4 + E^4)} + \sqrt{(B^2 + C^2 + E^2)^2 - 2(B^4 +C^4 + E^4)}}{4}.</math>▼
===شكل رباعي دائري([[صيغة براهماغوبتا]])===▼
تعد صيغة هيرو حالة خاصة ل[[صيغة براهماغوبتا]] لقياس مساحة الشكل [[الرباعي الدائري]].▼
:إذا افترضنا أن أضلاع الرباعي الدائري هي a, b, c, d فسنجد أن مساحة الرباعي الدائري(A):▼
:<math>A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>▼
حيث ''s'' هو نصف طول [[محيط]] الرباعي الدائري:▼
:<math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>▼
يمكن الحصول على صيغة هيرو عن طريق جعل أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري طوله صفر.▼
== صيغة جيوشاو ==▼
تعزى الصيغة السابقة إلى [[هيرو السكندري]]، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.<ref>{{ماثوورلد |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>▼
توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:▼
:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}</math> ▼
اكتشفت هذه الصيغة من قبل [[صينيون|الصينيين]] بشكل مستقل عن [[الأغريق]] ونشرها [[قين جيوشاو]] في 1247 ميلادية.▼
== برهان صيغة هيرو ==
=== البرهان
فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه "متريكا": لتكن ''a''، ''b''، ''c'' هي أضلاع المثلث، ولتكن ''A''، ''B''، ''C'' [[زاوية|زواياه]] المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
السطر 53 ⟵ 31:
:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.</math>
<math>
▲[[ارتفاع (مثلث)|ارتفاع]] المثلث على القاعدة ''a'' طوله (''b'' sin(''C'',وبالتالي: <math>
\begin{align}
A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\
السطر 83 ⟵ 62:
لايجاد قيمة C، اعتبر مثلثا قائم الزاوية وفي نفس الوقت متساوي الساقين
▲== تعميم الصيغة للشكل الرباعي ==
▲===شكل رباعي عامتا===
▲[[ملف:Quadrilateral ABCDE.png|تصغير|شكل رباعي غير منتظم]]
▲يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين.
▲:إذا افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:
▲:<math>A=\frac{\sqrt{(A^2 + D^2 + E^2)^2 - 2(A^4 + D^4 + E^4)} + \sqrt{(B^2 + C^2 + E^2)^2 - 2(B^4 +C^4 + E^4)}}{4}
▲تعد صيغة هيرو حالة خاصة ل[[صيغة براهماغوبتا]] لقياس مساحة الشكل [[الرباعي الدائري]].
▲:<math>A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
▲حيث ''s'' هو نصف طول [[محيط]] الرباعي الدائري:
▲:<math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>
▲يمكن الحصول على صيغة هيرو عن طريق جعل أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري طوله صفر.
▲== صيغة جيوشاو ==
▲تعزى الصيغة السابقة إلى [[هيرو السكندري]]، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.<ref>{{ماثوورلد |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>
▲توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:
▲:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}</math>
▲اكتشفت هذه الصيغة من قبل [[صينيون|الصينيين]] بشكل مستقل عن [[الأغريق]] ونشرها [[قين جيوشاو]] في 1247 ميلادية.
== برهان صيغة جيوشاو ==
السطر 96 ⟵ 101:
</math>
== انظر أيضًا ==
* [[صيغة براهماغوبتا]]
* [[مبرهنة بريتشنايدر]]
== المصادر ==
| |||