مستخدم:Mahmoud2013/نظام الاحداثيات الخاص بمركز الثقل

3-البسيط ، مع التقسيمات الفرعية المتمركزة من 1 وجوه (حواف) 2 وجوه (مثلثات) و 3 وجوه (الجسم).

نظام الاحداثيات الخاص بمركز الثقل barycentric coordinate system في الهندسة، هو نظام الإحداثيات في أي موقع نقطة من البسيطsimplex (مثلث، رباعي الوجوه المحدد، الخ) كما في مركز الكتلة، أو مركز الثقل، من كتل غير متساوية توضع في الرؤوس. تمتد الإحداثيات أيضًا خارج البسيط، حيث تصبح إحداثية واحدة أو أكثر سلبية. تم تقديم النظام في عام 1827 من قبل أغسطس فرديناند موبيوس.

تعريف

ليكن$\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ البسيط في عقدة فضاء تآلقي A. اذا كان لبعض نقاط$\mathbf {p}$ في A

   $(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$

 $(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$$(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$$(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$

 $(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$وواحد على الأقل من $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ليست صفرية ثم نقول أن المعاملات ( $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ) هي إحداثيات مركزية $\mathbf {p}$ بالنسبة إلى $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ P$\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$. العقد نفسها لها الإحداثيات $\mathbf {x} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),\mathbf {x} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,\mathbf {x} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1)$ . إحداثيات مركز الثقل ليست فريدة: لأي b لا تساوي الصفر، ( $ba_{1},\ldots ,ba_{n}$ ) هي أيضًا إحداثيات مركزية لP .    

إحداثيات مركز الثقل على المثلثات

إحداثيات Barycentric $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ على مثلث متساوي الأضلاع وعلى مثلث قائم الزاوية.

في سياق المثلث ، ومن المعروف الإحداثيات barycentric أيضا إحداثيات منطقة أو المساحي الإحداثيات، لأن إحداثيات P فيما يتعلق مثلث ABC هي تعادل (وقعت) نسب مجالات PBC، PCA وPAB إلى منطقة المثلث المرجعي ABC . تستخدم الإحداثيات المساحية والخطية لأغراض مماثلة في الهندسة.

الإحداثيات Barycentric أو areal مفيدة للغاية في التطبيقات الهندسية التي تتضمن نطاقات فرعية مثلثة . غالبًا ما تجعل هذه التكاملات التحليلية أسهل في التقييم ، وغالبًا ما يتم تقديم جداول التربيع الغوسية من حيث إحداثيات المنطقة.

ضع في اعتبارك المثلث $T$ محددة برؤوسها الثلاثة ، $\mathbf {r} _{1}$ ، $\mathbf {r} _{2}$ و $\mathbf {r} _{3}$ . كل نقطة $\mathbf {r}$ الموجودة داخل هذا المثلث يمكن كتابتها كمجموعة محدبة فريدة من القمم الثلاثة. وبعبارة أخرى ، لكل منها $\mathbf {r}$ هناك تسلسل فريد من ثلاثة أرقام ، $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ مثل ذلك $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ و

$\mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3},$

الأرقام الثلاثة $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ تشير إلى إحداثيات "barycentric" أو "المنطقة" للنقطة $\mathbf {r}$ فيما يتعلق بالمثلث. غالبا ما يشار إليها على أنها $\alpha ,\beta ,\gamma$ بدلا من $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ . لاحظ أنه على الرغم من وجود ثلاثة إحداثيات ، إلا أن هناك درجتين من الحرية منذ ذلك الحين $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ . وبالتالي يتم تحديد كل نقطة بشكل فريد من خلال أي من إحداثيات ثنائية المركز.

لشرح سبب توقيع هذه الإحداثيات على نسب المناطق ، دعونا نفترض أننا نعمل في الفضاء الإقليدي $\mathbf {E} ^{3}$ . هنا ، ضع في اعتبارك نظام الإحداثيات الديكارتية $Oxyz$ والأساس المرتبط به ، وهما $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ . ضع في اعتبارك أيضًا المثلث ذو الاتجاه الإيجابي $ABC$ الكذب في $Oxy$ طائرة . من المعروف أنه لأي أساس $\{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}$ من $\mathbf {E} ^{3}$ وأي ناقل حر $\mathbf {h}$ واحد لديه

$\mathbf {h} ={\frac {1}{(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )}}\cdot \left[(\mathbf {h} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e} ,\mathbf {h} ,\mathbf {g} )\mathbf {f} +(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )\mathbf {g} \right],$

أين $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ يرمز إلى المنتج المختلط من هذه المتجهات الثلاثة.

يأخذ $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ ، أين $P$ هي نقطة تعسفية في الطائرة $Oxy$ ولاحظ ذلك

$(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )=({\vec {AB}}\times {\vec {AC}})\cdot {\vec {AP}}=(\vert {\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\vert \mathbf {k} )\cdot {\vec {AP}}=0.$

نقطة خفية فيما يتعلق باختيارنا للمتجهات المجانية: $\mathbf {e}$ هو في الواقع فئة التساوي للمتجه المقيّد ${\vec {AB}}$ .

لقد حصلنا على ذلك

${\vec {AP}}=m_{B}\cdot {\vec {AB}}+m_{C}\cdot {\vec {AC}},\,{\mbox{ where }}\,m_{B}={\frac {({\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )}{({\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )}},\,m_{C}={\frac {({\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} )}{({\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )}}.$

بالنظر إلى الاتجاه الإيجابي ( عكس عقارب الساعة ) للمثلث $ABC$ مقام كلاهما $m_{B}$ و $m_{C}$ هو بالضبط ضعف مساحة المثلث $ABC$ . أيضا،

$({\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )=({\vec {PC}},{\vec {PA}},\mathbf {k} )\,{\mbox{ and }}\,({\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} )=({\vec {PA}},{\vec {PB}},\mathbf {k} )$

وهكذا البسطاء $m_{B}$ و $m_{C}$ هي أزواج مناطق المثلثات الموقعة $APC$ وعلى التوالي $ABP$ .

${\vec {OP}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\vec {OA}}+m_{B}\cdot {\vec {OB}}+m_{C}\cdot {\vec {OC}}$

مما يعني أن الأرقام $1-m_{B}-m_{C}$ ، $m_{B}$ و $m_{C}$ هي الإحداثيات ذات المركزين $P$ . وبالمثل ، يقرأ الإحداثيات المركزية الثالثة كما يلي

$m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {({\vec {PB}},{\vec {PC}},\mathbf {k} )}{({\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )}}.$

هذه $m$ -ترميز تدوين إحداثيات مركزية يأتي من حقيقة أن النقطة $P$ يمكن تفسيره على أنه مركز الكتلة للجماهير $m_{A}$ ، $m_{B}$ ، $m_{C}$ التي تقع فيها $A$ ، $B$ و $C$ .

التبديل بين الإحداثيات ذات المركزين وأنظمة الإحداثيات الأخرى ذهابًا وإيابًا يجعل من السهل حل بعض المشكلات.

التحويل بين الإحداثيات ثنائية المركز و الديكارتي

أعطي نقطة $\mathbf {r}$ في مستوى المثلث ، يمكن للمرء الحصول على إحداثيات مركزية $\lambda _{1}$ ، $\lambda _{2}$ و $\lambda _{3}$ من الإحداثيات الديكارتية $(x,y)$ أو العكس.

يمكننا كتابة الإحداثيات الديكارتية للنقطة $\mathbf {r}$ من حيث المكونات الديكارتية لقمم المثلث $\mathbf {r} _{1}$ ، $\mathbf {r} _{2}$ ، $\mathbf {r} _{3}$ أين $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ ومن حيث إحداثيات مركزية $\mathbf {r}$ مثل

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\\end{matrix}}$

أي أن الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة هي متوسط مرجح للإحداثيات الديكارتية لقمم المثلث ، مع كون الأوزان إحداثيات النقطة المركزية المتمركزة في الوحدة.

للعثور على التحول العكسي ، من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات ثنائية المركز ، نقوم أولاً باستبدالها $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ في أعلاه للحصول على

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\\\end{matrix}}$

إعادة الترتيب ، هذا هو

${\begin{matrix}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x=0\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-y_{3})+y_{3}-y=0\\\end{matrix}}$

يمكن كتابة هذا التحول الخطي بإيجاز أكثر مثل

$\mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}$

أين $\lambda$ هو ناقل أول إحداثيات ثنائية المركز ، $\mathbf {r}$ هو ناقل الإحداثيات الديكارتية ، و $\mathbf {T}$ مصفوفة مقدمة من

$\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\\\end{matrix}}\right)$

المصفوفة الآن $\mathbf {T}$ غير قابل للانعكاس ، منذ ذلك الحين $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ و $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ مستقلين خطيا (إذا لم يكن هذا هو الحال ، إذن $\mathbf {r} _{1}$ ، $\mathbf {r} _{2}$ و $\mathbf {r} _{3}$ ستكون متداخلة ولا تشكل مثلثًا). وبالتالي ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة أعلاه للحصول على

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})$

وبالتالي تم تقليل العثور على إحداثيات مركزية إلى إيجاد مصفوفة معكوسة 2 × 2 $\mathbf {T}$ مشكلة سهلة.

صراحةً ، صيغ إحداثيات النقطة المركزية $\mathbf {r}$ من حيث الإحداثيات الديكارتية ( س ، ص ) ومن حيث الإحداثيات الديكارتية لرؤوس المثلث هي:

$\lambda _{1}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,$

$\lambda _{2}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,$

$\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,.$

طريقة أخرى لحل التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات ثنائية المركز هي إعادة كتابة المشكلة في شكل مصفوفة بحيث

$\mathbf {r} =\mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}$

مع $\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)$ و ${\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }$ . ثم الشرط $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ يقرأ $\left(1,1,1\right){\boldsymbol {\lambda }}=1$ ويمكن حل الإحداثيات ثنائية المركز كحل للنظام الخطي

$\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)$

التحويل بين الإحداثيات ثنائية المركز وثلاثية الخط

وهناك نقطة مع ثلاثي الخطوط إحداثيات س  : ذ  : z له فأس إحداثيات مركزية  : بواسطة  : cz حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث. على العكس من ذلك ، نقطة مع barycentrics $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ له خطوط ثلاثية $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$

المعادلات في إحداثيات مركزية

الجوانب a ، b ، c على التوالي لها معادلات

$\lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.$

معادلة خط أويلر المثلث هي

${\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.$

باستخدام التحويل المحدد سابقًا بين الإحداثيات ثنائية المركز وثلاثية الخطوط ، يمكن إعادة كتابة المعادلات الأخرى المختلفة الواردة في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد # الصيغ من حيث الإحداثيات ثنائية المركز .

المسافة بين النقاط

ناقل الإزاحة لنقطتين طبيعيتين $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ و $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ هو

${\overrightarrow {PQ}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).$

المسافة $d$ ما بين $P$ و $Q$ أو طول متجه الإزاحة ${\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z),$ هو

$d^{2}=\left|PQ\right|^{2}=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy={\frac {1}{2}}[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})].$

حيث a ، b ، c هي أطوال المثلث. فيما يلي معادل آخر تعبيرين $x+y+z=0,$ الذي يحمل بسبب $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$

يمكن حساب إحداثيات نقطة المركز على أساس المسافة d _i إلى رؤوس المثلث الثلاثة عن طريق حل المعادلة

$\left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).$

التطبيقات

حلين للعدد 8 و 5 و 3 L لغز صب الماء باستخدام مؤامرة مركزية. تشير المنطقة الصفراء إلى مجموعات يمكن تحقيقها مع الأباريق. تظهر المسارات الصلبة ذات اللون الأحمر والأزرق المتقطع انتقالات قابلة للتطبيق. عندما تهبط قمة على المثلث المنقط ، 4 تم قياس L.

على الرغم من أن الإحداثيات ثنائية المركز هي الأكثر استخدامًا للتعامل مع النقاط داخل المثلث ، إلا أنه يمكن استخدامها أيضًا لوصف نقطة خارج المثلث. إذا لم تكن النقطة داخل المثلث ، فلا يزال بإمكاننا استخدام الصيغ أعلاه لحساب الإحداثيات ثنائية المركز. ومع ذلك ، نظرًا لأن النقطة خارج المثلث ، فإن أحد الإحداثيات على الأقل سينتهك افتراضنا الأصلي بذلك $\lambda _{1...3}\geq 0$ . في الواقع ، بالنظر إلى أي نقطة في الإحداثيات الديكارتية ، يمكننا استخدام هذه الحقيقة لتحديد مكان هذه النقطة فيما يتعلق بالمثلث.

إذا كانت النقطة تقع في الجزء الداخلي من المثلث ، فإن جميع إحداثيات Barycentric تقع في الفاصل المفتوح $(0,1).$ إذا كانت النقطة تقع على حافة المثلث ولكن ليس عند قمة الرأس ، فإن أحد إحداثيات المنطقة $\lambda _{1...3}$ (الواحد المرتبط بالرأس المعاكس) هو صفر ، بينما يقع الآخران في الفترة المفتوحة $(0,1).$ إذا كانت النقطة تقع على قمة ، فإن الإحداثيات المرتبطة بهذا الرأس تساوي 1 والأخرى تساوي صفر. أخيرًا ، إذا كانت النقطة تقع خارج المثلث ، فإن إحداثيًا واحدًا على الأقل يكون سلبيًا.

تلخيص ،

نقطة $\mathbf {r}$ تقع داخل المثلث إذا وفقط إذا $0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}$ .

$\mathbf {r}$ تقع على حافة أو زاوية المثلث إذا $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}$ و $\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}$ .

غير ذلك، $\mathbf {r}$ تقع خارج المثلث.

على وجه الخصوص ، إذا كانت النقطة تقع على الجانب الآخر من الخط الجانبي من قمة الرأس المقابلة لذلك الخط الجانبي ، فإن إحداثيات نقطة المركز لتلك النقطة المقابلة لذلك الرأس تكون سلبية.

الاستيفاء على شبكة مثلثية غير منظمة

يتم الحصول على السطح (الجزء العلوي) من الاستكمال الخطي عبر شبكة مثلثة معينة (الجزء السفلي) في المستوى س ، ص . يقترب السطح من دالة z = f ( x ، y ) ، بالنظر فقط إلى قيم f على رؤوس الشبكة.

إذا $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ هي كميات معروفة ، ولكن قيمها $f$ داخل المثلث المحدد بواسطة $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ غير معروف ، يمكن تقريبها باستخدام الاستيفاء الخطي . توفر إحداثيات Barycentric طريقة مناسبة لحساب هذا الاستيفاء. إذا $\mathbf {r}$ هي نقطة داخل المثلث بإحداثيات ثنائية المركز $\lambda _{1}$ ، $\lambda _{2}$ ، $\lambda _{3}$ ، ثم

$f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})$

بشكل عام ، بالنظر إلى أي شبكة غير منظمة أو شبكة مضلع ، يمكن استخدام هذا النوع من التقنية لتقريب قيمة $f$ في جميع النقاط ، طالما أن قيمة الدالة معروفة في جميع رؤوس الشبكة. في هذه الحالة ، لدينا العديد من المثلثات ، كل منها يتوافق مع جزء مختلف من الفضاء. لإقحام وظيفة $f$ عند نقطة ما $\mathbf {r}$ ، يجب أولاً العثور على مثلث يحتوي على $\mathbf {r}$ . لنفعل ذلك، $\mathbf {r}$ تتحول إلى إحداثيات مركزية لكل مثلث. إذا تم العثور على بعض المثلث بحيث ترضي الإحداثيات $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ ثم تكمن النقطة في ذلك المثلث أو على حافته (موضحة في القسم السابق). ثم قيمة $f(\mathbf {r} )$ يمكن أن يكون محرف كما هو موضح أعلاه.

تحتوي هذه الطرق على العديد من التطبيقات ، مثل طريقة العناصر المحدودة (FEM).

يمكن أن يكون تكامل دالة عبر مجال المثلث مزعجًا للحساب في نظام إحداثيات ديكارتية. يجب على المرء عمومًا تقسيم المثلث إلى نصفين ، ويتبع ذلك فوضى كبيرة. بدلاً من ذلك ، غالبًا ما يكون من الأسهل إجراء تغيير في المتغيرات على أي إحداثيات ثنائية المركز ، على سبيل المثال $\lambda _{1},\lambda _{2}$ . تحت هذا التغيير من المتغيرات ،

$\int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}$

أين $A$ هي مساحة المثلث. تنجم هذه النتيجة عن حقيقة أن مستطيلًا في الإحداثيات ثنائية المركز يتوافق مع رباعي الأضلاع في الإحداثيات الديكارتية ، ونسبة مساحات الأشكال المقابلة في أنظمة الإحداثيات المقابلة تعطى من خلال $2A$ . وبالمثل ، من أجل التكامل عبر رباعي الأسطح ، بدلاً من تقسيم التكامل إلى قطعتين أو ثلاث قطع منفصلة ، يمكن للمرء التحول إلى إحداثيات رباعي السطوح ثلاثية الأبعاد تحت تغيير المتغيرات

$$\int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}$$

أين $V$ هو حجم رباعي الأسطح.

تحتوي القمم الثلاثة للمثلث على إحداثيات ثنائية المركز $1:0:0,\quad 0:1:0,\quad {\text{and}}\quad 0:0:1.$

السنتويد لديه barycentrics $1:1:1.$

خاتر المثلث ABC له إحداثيات مركزية

$a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$

$=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=(1-\cos B\cos C):(1-\cos C\cos A):(1-\cos A\cos B).$

حيث a, b, c هي أطوال الحواف BC, CA, AB على التوالي من المثلث.

مركز تقويم العظام له إحداثيات مركزية

$(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2}):\;(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$=\tan A:\tan B:\tan C=a\cos B\cos C:b\cos C\cos A:c\cos A\cos B.$

يحتوي Incenter على إحداثيات مركزية

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$

باريتريكسس إكسينتيرس

$-a:b:c\quad \quad a:-b:c\quad \quad a:b:-c.$

المركز ذو النقاط التسع له إحداثيات مركزية

$a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)=(1+\cos B\cos C):(1+\cos C\cos A):(1+\cos A\cos B)$

$=[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}].$

إحداثيات Barycentric على رباعي السطوح

يمكن بسهولة توسيع إحداثيات Barycentric إلى ثلاثة أبعاد . ثلاثي الأبعاد البسيط هو رباعي الأسطح ، متعدد الوجوه له أربعة وجوه مثلثة وأربعة قمم. مرة أخرى ، يتم تحديد إحداثيات barycentric الأربعة بحيث قمة الأولى $\mathbf {r} _{1}$ خرائط لإحداثيات مركزية $\lambda =(1,0,0,0)$ ، $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$ ، إلخ.

هذا مرة أخرى عبارة عن تحويل خطي ، وقد نوسع الإجراء أعلاه للمثلثات للعثور على إحداثيات مركزية نقطة $\mathbf {r}$ فيما يتعلق بمسطح رباعي الأسطح:

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})$

أين $\mathbf {T}$ مصفوفة 3 × 3 الآن:

$\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)$

و $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ مع الإحداثيات الديكارتية المقابلة:

\begin{matrix}

x = \lambda_{1} x_{1} +  \lambda_{2} x_{2} + \lambda_3 x_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)x_4 \\

y = \lambda_{1} y_{1} +  \lambda_{2} y_{2} + \lambda_3 y_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)y_4 \\

z=\lambda_{1} z_{1} +  \lambda_{2} z_{2} + \lambda_3 z_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)z_4 \\

\end{matrix}

مرة أخرى ، تم تقليل مشكلة العثور على الإحداثيات ثنائية المركز لعكس مصفوفة 3 × 3. يمكن استخدام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد لتحديد ما إذا كانت النقطة تقع داخل حجم رباعي السطوح ، واستيفاء دالة داخل شبكة رباعي السطوح ، بطريقة مماثلة لإجراء 2D. غالبًا ما تُستخدم الشبكات رباعية السطوح في تحليل العناصر المحدودة لأن استخدام الإحداثيات ثنائية المركز يمكن أن يبسط بشكل كبير الاستيفاء ثلاثي الأبعاد.

إحداثيات مركزية معممة

إحداثيات Barycentric (أ _1، ...، ون) التي تم تعريفها فيما يتعلق متعدد مقام بدلا من البسيط ودعا تعميم الإحداثيات barycentric. لهذه المعادلة

$(a_{1}+\cdots +a_{n})p=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$

لا يزال مطلوبًا الاحتفاظ حيث x ₁ ، ... ، x _n هي رؤوس رؤوس متعددة. وبالتالي ، فإن التعريف لم يتغير رسمياً ، ولكن في حين يجب أن يتم دمج البسيط مع القمم n في مساحة متجهية ذات أبعاد n-1 على الأقل ، فقد يتم تضمين مجهر في مساحة متجهية ذات أبعاد أقل. أبسط مثال هو رباعي الأضلاع في الطائرة. وبالتالي ، حتى الإحداثيات العامة ذات مركزية التعميم (أي الإحداثيات بحيث يكون مجموع المعاملات 1) بشكل عام لم يتم تحديدها بشكل فريد بعد الآن ، في حين أن هذا هو الحال بالنسبة للإحداثيات ثنائية المركز المعيارية فيما يتعلق بالبساطة.

بشكل أكثر تجريدًا ، تعبر الإحداثيات العامة ذات مركزية مركزية عن مجهر مع رؤوس n ، بغض النظر عن البعد ، كصورة للمعيار $(n-1)$ -Simplex ، الذي يحتوي على رؤوس n - الخريطة على: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ الخريطة واحد لواحد إذا وفقط إذا كان القطب البسيط ، وفي هذه الحالة تكون الخريطة تشابهًا ؛ هذا يقابل نقطة لا تحتوي على إحداثيات مركزية عامة فريدة إلا عندما تكون P بسيطة.

المزدوج إلى إحداثيات barycentric المعمم هي المتغيرات الركود ، التي تقيس قبل كيف هامش بكثير نقطة يرضي القيود الخطية، ويعطي التضمين $P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}$ في f - orthant ، حيث f هو عدد الوجوه (المزدوجة للقمم). هذه الخريطة واحد لواحد (يتم تحديد متغيرات الركود بشكل فريد) ولكن ليس في (لا يمكن تحقيق جميع المجموعات).

هذا الاستخدام للمعيار $(n-1)$ -Simplex و f -orthant ككائنات قياسية يتم تعيينها إلى polytope أو خرائط polytope التي يجب أن تتناقض مع استخدام مساحة المتجه القياسية $K^{n}$ ككائن قياسي للمساحات المتجهة ، والطائرة الزائدة المعيارية $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ كشيء قياسي للمساحات المترابطة ، حيث في كل حالة ، فإن اختيار أساس خطي أو أساس متداخل يوفر تشابهًا ، مما يسمح بالتفكير في جميع المساحات المتجهة والمساحات المترابطة من حيث هذه المساحات القياسية ، بدلاً من إلى أو إلى واحد إلى خريطة واحدة (ليس كل بوليتوب بسيط). علاوة على ذلك، -orthant ن هو كائن القياسية التي يعين المخاريط.

التطبيقات

إحداثيات barycentric المعممة لها تطبيقات في رسومات الكمبيوتر وبشكل أكثر تحديدا في النمذجة الهندسية . في كثير من الأحيان ، يمكن تقريب نموذج ثلاثي الأبعاد بواسطة متعدد السطوح بحيث يكون للإحداثيات ثنائية المركز المعممة فيما يتعلق بهذا متعدد الوجوه معنى هندسي. بهذه الطريقة ، يمكن تبسيط معالجة النموذج باستخدام هذه الإحداثيات ذات المغزى. تُستخدم الإحداثيات ثنائية المركز أيضًا في الجيوفيزياء

أنظر أيضا

• مؤامرة ثلاثية
• تركيبة محدبة  

• استخدامات إحداثيات باريسينتريك متجانسة في الهندسة الإقليدية الطائرة
• إحداثيات Barycentric - مجموعة من الأوراق العلمية حول الإحداثيات barycentric (المعممة)
• إحداثيات Barycentric: تطبيق غريب (حل مشكلة "النظارات الثلاثة") في عقدة
• نقطة دقيقة في اختبار المثلث
• إحداثيات Barycentric في أولمبياد الهندسة بواسطة إيفان تشين وماكس شيندلر
• أمر Barycenter وأمر TriangleCurve في Geogebra .

[[تصنيف:أنظمة إحداثية ثنائية الأبعاد]] [[تصنيف:أنظمة إحداثيات]] [[تصنيف:هندسة المثلث]] [[تصنيف:هندسة تآلفية]] [[تصنيف:جبر خطي]] [[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]