هندسة إقليدية: الفرق بين النسختين

أُضيف 5٬833 بايت ، ‏ قبل 11 شهرًا
لا يوجد ملخص تحرير
 
هناك العديد من المُسلّمات التي بالإمكان صياغتها لتكون مُتطابقة منطقياً مع مُسلّمة التوازي (في سياق المُسلّمات الأخرى نفسه). على سبيل المثال، [[مسلمة بلاي فير|مُسلّمة بلاي فير]] تنص على أنّ:<blockquote>في المُستوى، لأي نُقطة لا تقع على خط مُستقيم مُعطى، ثمّة خط واحد على الأكثر لا يلتقي الخط المُعطى.</blockquote>عبارة "على الأكثر" هي كل ما تحتاجه المُسلّمة، لأنه بالإمكان إثبات من خلال المٌسلّمات الأخرى أن هناك خط موازي واحد على الأقل.
 
== طرق البرهنة ==
الهندسة الإقليدية هندسة إنشائية. المسلمات 1، 2، 3، و5 تزعم وجود ووحدانية بعض الأجسام الهندسية وهذه الافتراضات إنشائية الطبيعة. بمعنى أنه ليس فقط هذه الأجسام الهندسية موجودة، بل وأننا نعلم طريقة إنشائها باستعمال المسطرة والفرجار فقط. بهذا المعنى، الهندسية الإقليدية أكثر عينيةً وصلادة من العديد من نظم المُسلمات كنظرية المجموعات، التي عادةً تفترض وجود أجسام دون شرح طريقة إنشائها، أو حتّى تفترض أنها غير قابلة للإنشاء في النظرية. من منظور أكثر صرامة، الخطوط على الورق هي مجرد نماذج للأجسام المُعرفة ضمن النظام الرسمي، بدلاً من كونها أمثلة من تلك الأجسام. على سبيل المثال، الخط المستقيم الإقليدي ليس له سُمك، لكن أي خط واقعي سيكون له. غالب الرياضياتيين يعتبرون طرق البرهان غير الإنشائية لها نفس صحة البراهين الإنشائية.
 
إقليدس كثيراً ما استعمل البرهان بالتناقض. الهندسة الإقليدية تسمح كذلك بوجود الموقع الفائق، الذي يكون فيه الشكل مُزاحاً لموقعٍ آخر في المستوى. مثلاً، المبرهنة الرابعة: تطابق ضلع-زاوية-ضلع للمثلث إثباته بتحريك أحد المثلثين بحيث أضلاعه تنطبق على ضلعين من الآخر، ثم إثبات أنّ الضلع الأخير منطبق أيضاً. بعض الإصلاحات الحديثة في الهندسة أضافت مُسلّمةً سادسة: تصلُّب المُثلث، والتي اقتُرحَت بديلاً للموقع الفائق.
 
== نظام القياس والحساب ==
الهندسة الإقليدية تتضمن اثنين من أنواع القياس الأساسية: الزاوية، والمسافة. قياس الزاوية قياسٌ مُطلقٌ. استعمل إقليدس الزاوية القائمة بوصفها وحدته الأساسية. بحيث أن الزاوية 45 يُشار إليها بنصف زاوية قائمة مثلاً. على الوجه المقابل، قياس المسافة نسبي. بإمكان اختيار أي قطعة مستقيمة لامنعدمة على أنها وِحدةُ الطول المُستعملة وبقية الأطوال يُعبّرُ عنها بالنسبة لها. جمع الأطوال يُمثّل بإنشاء تكون فيه قطعة مستقيمة منسوخة إلى الطرف الآخر من قطعةٍ مُستقيمةٍ أخرى، وبالمثل للطرح. قياسات المساحة والحجم تُشتَقُّ من المسافات. مثلاً، المستطيل ذو الطول 3 وحدات والعرض 4 وحدات له مساحة تبلغ 12 وحدة مربعة. لأن هذا المفهوم الهندسي من الضرب كان محدوداً ضمن إطار التصور الهندسي، لم يكن هناك طريقة مباشرة لتفسير حاصل ضرب 4 أعداد فأعلى. ولذا يُرَى أن إقليدس تجنّب مثل حواصل الضرب هذه على الرغم من احتواء براهينها بها ضمنياً، مثلاً في كتابه السادس، المبرهنة 20. إقليدس يُشير إلى أزواج المستقيمات أو الأشكال، سواءً المُسطّحة أو المُجسّمة، على أنها متساوية (ἴσος) إذا كانت أطوالها، مساحاتها، أو أحجامها متساوية توالياً، وبالمثل للزوايا. المصطلح "متطابق" هو المُصطلح المُحبّذ وهو يُشير إلى مفهوم أن أي جسم هندسي له نفس الشكل والحجم أو المساحة لشكل آخر، بحيث أنه بالإمكان قلبه أو تحريكه بحيث ينطبق على الآخر. على سبيل المثال، المستطيلات ذات الأبعاد 2×6 و 3×4 متساوية المساحة لكنها ليست متطابقة. لكن الحرف "س" وصورته في المرآة شكلان متطابقان. الأشكال المتطابقة لكنها تختلف في أحجامها يُشار إليها بأنها "مُتشابهة". الزوايا المتناظرة في أزواج الأشكال المُتشابهة متطابقة، والأضلاع متناسبة في الطول.
 
== الترميز والتسمية ==
تسمية النقاط والأجسام جرت العادة بتسمية النقاط باستعمال الأحرف اللاتينية الكبيرة {{إنج|Capital letters}} أما بقية الأشكال، كالخطوط، المثلثات أو الدوائر تُسمّى بتعداد عددٍ كافٍ من النقاط التي تُمثّلها دون لبس. مثلاً، المثلث ABC يُطلق على المثلث ذو الرؤوس A، B، وC.
 
الزوايا المتكاملة والمتتامة الزوايا التي مجموعها زاوية قائمة تُسمّى مُتتامّة. الزوايا المتتامة تُنشئ عند انطلاق شعاع من رأس زاويةٍ قائمةٍ. عدد الأشعّة بين شُعاعين لامنتهٍ. الزوايا التي مجموعها زاوية مستقيمة تُسمّى زوايا متكاملة. الزوايا المتكاملة تُنشَئ عندما يُطلع شعاع من نقطة على خطٍ مُستقيم.
 
== الأجسام الهندسية ==
9٬849

تعديل