ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين

تم إزالة 41 بايت ، ‏ قبل 10 سنوات
ط
تدقيق إملائي وتنسيق
ط (استرجاع تعديلات 80.249.74.249 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة D'ohBot)
ط (تدقيق إملائي وتنسيق)
{{ميكانيكا كلاسيكية}}
'''ميكانيك لاغرانج''' '''Lagrangian mechanics''' عبارة عن إعادة صياغة [[ميكانيكا كلاسيكية|للمكيانيك الكلاسيكي]] قدمه [[جوزيف لويس لاغرانج]] عام [[1788]]. في ميكانيك لاغرانج ،لاغرانج، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسلك الذي يقلل [[فعل (فيزياء)|الفعل]] action ،action، وهو مقدار يعتبر [[تكامل]] لكمية ندعوها [[لاغرانجي]] Lagrangian على الزمن . اللاغرانجي بالنسبة للميكانيك الكلاسيكي يعتبر الفرق بين [[طاقة حركية|الطاقة الحركية]] و[[طاقة كامنة|الطاقة الكامنة]] .
 
هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية . مثلا كرة صغيرة في حلقة . إذا قمنا بالحساب على أساس [[ميكانيك نيوتني|الميكانيك النيوتني]] ، سيحصل المرء على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة .
 
نفس هذه المسألة تصبح أسها باستخدام ميكانيك لاغرانج . حيث ينظر المرء إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة ويجد رياضيا الحركة التي تقلل الفعل إلى أدنى حد . بالتالي يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حسابا مباشرا لتأثير الدوامة على الكرية عند كل لحظة .
== معادلات لاغرانج ==
 
لنعتبر جسيما مفردا ذو [[كتلة]] ''m'' وشعاع موضع '''r''' . تطبق عليه قوة '''F''' ، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذه القوة على أنها [[تدرج]] تابع [[طاقة كامنة|الطاقة الكامنة]] القياسي (''V''('''r''', ''t'':
 
:<math>\mathbf{F} = - \nabla V.</math>
 
مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع '''r''' ، لذا فإن هذه قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث [[معادلات تفاضلية نظامية]] من الرتبة الثانية .
 
لذا فإن حركة هذا الجسيم يمكن وصفها بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى " درجات حرية " . درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :
 
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3},
 
المركبات الديكارتية لشعاع الموضع '''r''' ومشتقاته الزمنية ( مشتقاته بالنسبة للزمن ), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :
((''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub> ) ).
 
بشكل أعم ،أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة
((''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub> ) ).
,، ''q''<sub>''j''</sub>, مع مشتقاتها الزمنية ،الزمنية، أو ما يدعى بالسرع معممة ،معممة، ''q''′<sub>''j''</sub>.
 
بشكل أعم ، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة
 
, ''q''<sub>''j''</sub>, مع مشتقاتها الزمنية ، أو ما يدعى بالسرع معممة ، ''q''′<sub>''j''</sub>.
 
يرتبط شعاع الموضع '''r''' مع '''الإحداثيات المعممة''' عن طريق جملة '''معادلات تحويل'''
 
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_iq_i، ، q_j ،q_j، q_k, t).</math>
 
فمثلا من أجل نواس بسيط ذو طول ''l'' ، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية النواس التي يصنعها مع خطه الشاقولي ( العمودي ) ، θ,
 
وتكون معادلات التحويل :
:<math>\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.
 
مصطلح ''إحداثيات معممة '' أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي .
 
لنعتبر الإزاحة الإعتبارية للجسم δ'''r''' فيكون العمل المنجز من قبل القوة '''F''' هو :
\end{matrix}</math>
 
بما أن العمل كمية فيزيائية قياسية ( كمية وليست شعاعية ) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة والسرع على الجانب الأيسر .
 
:<math>
</math>
 
حيث هي الطاقة الحركية للجسيم ''T'' = 1/2 ''m'' r′ <sup>2</sup> . ومعادلة العمل المنجز ستصبح بالشكل :
 
:<math>
</math>
 
على أي حال ،حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحا بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δ''q''<sub>i</sub>, لذا يكون لدينا :
 
:<math>
 
هناك دوما معادلة لاغرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q<sub>i</sub>. وعندما يكون
q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية ), عندئذ نستطيع بسهولة اختزال معادلة لاغرانج إلى قانون نيوتن الثاني.
 
الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من ''N'' جسيم. عندئذ يكون هناك 6''N'' إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3''N'' . في معادلات لاغرانج 3''N'' يكون دوما ''T'' هو الطاقة الحركية الكلية للجملة ،للجملة، و''V'' الطاقة الكامنة الكلية .
 
عمليا من الأسهل حل المسألة ياستخدام [[معادلة اويلر-لاغرانج]] بدلا من قوانين نيوتن . ذلك لأن الإحداثيات المعممة ''q''<sub>i</sub> يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام .
 
[[تصنيف:ميكانيكا]]
916٬418

تعديل