ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين

[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
JarBot (نقاش | مساهمات)
لا ملخص تعديل
سطر 2:
{{ميكانيكا كلاسيكية}}
 
'''ميكانيكا لاجرانج''' {{إنج|Lagrangian mechanics}} عبارة عن إعادة صياغة [[ميكانيكا كلاسيكية|للميكانيكا الكلاسيكية]] قدمه [[جوزيف لويس لاجرانج]] عام [[1788]]، في ميكانيكا لاجرانج، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسار الذي يقلل [[فعلشغل (فيزياء)|الفعلالشغل]]، وهو مقدار يعد [[تكامل]] لكمية ندعوها [[لاجرانجي]] على الزمن، اللاجرانجي بالنسبة للميكانيكا الكلاسيكية يعد الفرق بين [[طاقة حركية|الطاقة الحركية]] و[[طاقة كامنة|الطاقة الكامنة]].<ref>{{استشهاد بكتاب |مؤلف=R. Penrose| عنوان=[[The Road to Reality]]| ناشر= Vintage books| سنة=2007 | صفحة = 474|isbn=0-679-77631-1}}</ref>
هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية، مثلاً كرة صغيرة في حلقة فإذا قمنا بحساب تلك المسألة على أساس [[ميكانيك نيوتني|الميكانيكيا النيوتنية]]، سنحصل على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة.
 
نفس هذه المسألة تصبح أسهل بإستخدامباستخدام ميكانيكا لاجرانج، حيث سينظر إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة ونجد رياضياً الحركة التي تقلل الفعل إلى أدنى حد، بالتالي يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حساباً مباشراً لتأثير الدوامة على الكرية عند كل لحظة.
 
=== معادلات لاغرانج ===
 
لنعتبر جسيما مفردا ذو [[كتلة]] ''m'' وشعاع موضع '''r'''. تطبق عليه قوة '''F'''، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذا النظام بجسيم يتحرك في [[جسيم في صندوق|بئر جهدي]] فتكون له [[طاقة حركة]] و أيضاوأيضا [[طاقة الوضع|طاقة وضع]]. نفترض أن الجهد المؤثر على الجسيم (''V''('''r''', ''t'' دالة تعتمد على الزمن t و المكانوالمكان '''r''' (مثل جهد [[نواة الذرة]] التي تؤثر على إلكترون يدور حولها):
 
:<math>\mathbf{F} = - \nabla V.</math>
سطر 19:
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3}
 
المركبات الديكارتية لمتجه الموضع '''r''' ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن),، في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة:
 
(''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub>).
 
بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة، ''q''<sub>''j''</sub>,، مع مشتقاتها الزمنية، أو ما يدعى بالسرعات المعممة، ''q''′<sub>''j''</sub>.
 
يرتبط متجه الموضع '''r''' مع '''الإحداثيات المعممة''' عن طريق جملة '''معادلات تحويل'''
سطر 29:
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t)</math>.
 
فمثلاً عند التعامل مع [[رقاص]] (نواس) بسيط ذو طول ''l''، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية الرقاص التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ,.
 
وتكون معادلات التحويل:
سطر 35:
:<math>\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.
 
مصطلح ''إحداثيات معممة '' أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.
 
لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δ'''r''' فيكون الشغل المبذول من قبل القوة '''F''' هو:
سطر 72:
</math>
 
على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحاً بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δ''q''<sub>i</sub>,، لذا يكون لدينا:
 
:<math>
سطر 80:
من أجل أي من الإحداثيات المعممة δ''q''<sub>i</sub>.
 
يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة ''V'' أن هو تابع ل '''r''' و''t'',، ومتجه الموضع '''r''' تابع أيضاً للإحداثيات المعممة والزمن ''t''، لذا فإن الطاقة الكامنة ''V'' تكون مستقلة عن السرعات المعممة
لذا فإن الطاقة الكامنة ''V'' تكون مستقلة عن السرعات المعممة
 
:<math>
السطر 95 ⟵ 94:
 
هناك دوماً معادلة لاجرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q<sub>i</sub>. وعندما يكون
q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية),، عندئذ نستطيع بسهولة اختزال معادلة لاجرانج إلى قانون نيوتن الثاني.
 
الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من ''N'' جسيم. عندئذ يكون هناك 6''N'' إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3''N''. في معادلات لاجرانج 3''N'' يكون دوماً ''T'' هو الطاقة الحركية الكلية للجملة، و''V'' الطاقة الكامنة الكلية.
 
عملياً من الأسهل حل المسألة ياستخدام [[معادلة اويلرأويلر-لاغرانج]] بدلاً من قوانين نيوتن. ذلك لأن الإحداثيات المعممة ''q''<sub>i</sub> يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام.
 
== مراجع ==
{{مراجع}}
 
== انظر أيضًا ==
السطر 108 ⟵ 104:
* [[معادلة هاميلتون]]
* [[ستة درجات حرية]]
 
== المراجع ==
== {{مراجع ==}}
 
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي|علم الفلك}}
 
{{هامش-فيزياء}}