ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين
[نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط بوت:تدقيق إملائي V1.6 |
لا ملخص تعديل |
||
سطر 2:
{{ميكانيكا كلاسيكية}}
'''ميكانيكا لاجرانج''' {{إنج|Lagrangian mechanics}} عبارة عن إعادة صياغة [[ميكانيكا كلاسيكية|للميكانيكا الكلاسيكية]] قدمه [[جوزيف لويس لاجرانج]] عام [[1788]]، في ميكانيكا لاجرانج، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسار الذي يقلل [[
هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية، مثلاً كرة صغيرة في حلقة فإذا قمنا بحساب تلك المسألة على أساس [[ميكانيك نيوتني|الميكانيكيا النيوتنية]]، سنحصل على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة.
نفس هذه المسألة تصبح أسهل
لنعتبر جسيما مفردا ذو [[كتلة]] ''m'' وشعاع موضع '''r'''. تطبق عليه قوة '''F'''، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذا النظام بجسيم يتحرك في [[جسيم في صندوق|بئر جهدي]] فتكون له [[طاقة حركة]]
:<math>\mathbf{F} = - \nabla V.</math>
سطر 19:
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3}
المركبات الديكارتية لمتجه الموضع '''r''' ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن)
(''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub>).
بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة، ''q''<sub>''j''</sub>
يرتبط متجه الموضع '''r''' مع '''الإحداثيات المعممة''' عن طريق جملة '''معادلات تحويل'''
سطر 29:
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t)</math>.
فمثلاً عند التعامل مع [[رقاص]] (نواس) بسيط ذو طول ''l''، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية الرقاص التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ
وتكون معادلات التحويل:
سطر 35:
:<math>\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.
مصطلح ''إحداثيات معممة '' أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.
لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δ'''r''' فيكون الشغل المبذول من قبل القوة '''F''' هو:
سطر 72:
</math>
على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحاً بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δ''q''<sub>i</sub>
:<math>
سطر 80:
من أجل أي من الإحداثيات المعممة δ''q''<sub>i</sub>.
يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة ''V'' أن هو تابع ل '''r''' و''t''
:<math>
السطر 95 ⟵ 94:
هناك دوماً معادلة لاجرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q<sub>i</sub>. وعندما يكون
q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية)
الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من ''N'' جسيم. عندئذ يكون هناك 6''N'' إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3''N''. في معادلات لاجرانج 3''N'' يكون دوماً ''T'' هو الطاقة الحركية الكلية للجملة، و''V'' الطاقة الكامنة الكلية.
عملياً من الأسهل حل المسألة ياستخدام [[معادلة
== مراجع ==▼
== انظر أيضًا ==
السطر 108 ⟵ 104:
* [[معادلة هاميلتون]]
* [[ستة درجات حرية]]
== المراجع ==
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي|علم الفلك}}
{{هامش-فيزياء}}
|