طول قوس: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
عبد الجليل 09 (نقاش | مساهمات) لا ملخص تعديل |
عبد الجليل 09 (نقاش | مساهمات) |
||
سطر 21:
بمقدار {{Math|1.3×10<sup>−11</sup>}} وتقدير قاعدة [[تربيع غاوسي|التربيع الغاوسي]] ستة عشري النقاط والذي يبلغ {{Val|1.570796326794727}} يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار {{Math|1.7×10<sup>−13</sup>}}.
=== الأنظمة الإحداثية الأخرى ===
ليكن <math>\mathbf{C}(t) = (r(t), \theta(t))</math> منحنى معبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي قطبي|الإحداثيات القطبية]]. التحويل الذي يتحول من الإحداثيات القطبية إلى [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] هو
: <math>\mathbf{x}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta )</math>
الدالة المكاملة لتكامل طول القوس هي <math>|(\mathbf{x}\circ\mathbf{C})'(t)|</math>. تظهر قاعدة السلسلة لحقول المتجهات أن<math>D(\mathbf{x}\circ \mathbf{C}) = \mathbf{x}_r r' + \mathbf{x}_{\theta} \theta'</math>. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:
: <math>(\mathbf{x_r}\cdot\mathbf{x}_r)(r')^2 + 2(\mathbf{x}_r\cdot\mathbf{x}_{\theta})r'\theta' + (\mathbf{x}_{\theta}\cdot\mathbf{x}_{\theta})(\theta')^2 = (r')^2 + r^2(\theta')^2</math>
لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات القطبية، يساوي طول القوس:
: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 }dt = \int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)} \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2}d\theta</math>
لتكن الآن <math>\mathbf{C}(t) = (r(t), \theta(t), \phi(t))</math> منحنى معبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي كروي|الإحداثيات الكروية]] حيث <math>\theta</math> هي الزاوية القطبية المقاسة من محور <math>z</math>-الموجب و<math>\phi</math> هي [[سمت|الزاوية السمتية]]. التحويل الذي يتحول من الإحداثيات كروية إلى الإحداثيات الديكارتية هو:
: <math>\mathbf{x}(r,\theta,\phi) = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta)</math>
يظهر استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى أن: <math>D(\mathbf{x}\circ\mathbf{C}) = \mathbf{x}_r r' + \mathbf{x}_{\theta}\theta' + \mathbf{x}_{\phi}\phi'</math>. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:
: <math>(\mathbf{x}_r\cdot \mathbf{x}_r )(r'^2) + (\mathbf{x}_{\theta} \cdot \mathbf{x}_{\theta})(\theta')^2 + (\mathbf{x}_{\phi}\cdot \mathbf{x}_{\phi})(\phi')^2 = (r')^2 + r^2(\theta')^2 + r^2 \sin^2\theta (\phi')^2</math>، حيث <math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> هو الجداء القياسي للمتجهتين <math>\mathbf{x}</math> و <math>\mathbf{y}</math>.
لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الكروية، يساوي طول القوس:
: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + r^2\sin^2\theta \left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2}dt </math>
يظهر حساب مشابه جدًا أن طول قوس المنحنى المعبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الأسطوانية]] يساوي:
: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt </math>
== انظر أيضا ==
| |||