ويكيبيديا

معادلة جبرية: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
سطر 48:
{{مفصلة|معادلة تكعيبية}}
 
تاريخيا، حلحلت المعادلات من الدرجة الثالثة خلال القرن السادس عشر الميلادي. لمعادلة تكعيبية ثلاث حلول على الأكثر. لمزيد من العلومات انظر إلى [[معادلة تكعيبية]].
=== القانون العام للجذور ===
تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة <math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\,</math> بدلالة معاملاتها <math>a,b,c,d\,</math> كما يلي:
 
:<math>\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}</math>
 
=== طريقة كاردان ===
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
 
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة <math>\mathcal {}p</math> و<math>\mathcal {}q</math> حلول المعادلة: <math>\mathcal {}x^3+px + q= 0 ~</math>. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
 
=== صيغ كاردان ===
بالنسبة للمعادلة: <math>\mathcal {}x^3+px + q= 0\,</math> نحسب <math>\Delta = 4p^3+27q^2\,</math>, ثم ندرس إشارته.
 
==== Δ موجب ====
نضع
* <math> u = \sqrt[3]{\frac{-27q + 3\sqrt{3}\sqrt{\Delta}}{2}}</math>
* <math> v = \sqrt[3]{\frac{-27q - 3\sqrt{3}\sqrt{\Delta}}{2}}</math>
 
الحل الوحيد الحقيقي هو <math> x_1 = \frac{1}{3}(u + v)</math>.
 
و حلان عقديان [[عدد عقدي#مرافق عدد عقدي|مترافقان]]:
* <math> x_2 = \frac{1}{3}(j u +\bar{j} v)</math>
* <math> x_ 3= \frac{1}{3}(\bar{j}u +j v)</math>
حيث <math> j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{2 \pi}{3}}</math>
 
==== Δ سالب ====
يوجد [[أعداد عقدية|عدد عقدي]] ''u'' الذي هو جذر مكعب ل <math>\frac{-27q + 3i\sqrt{3}\sqrt{-\Delta}}{2}</math>.
 
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
* <math> x_1 = \frac{1}{3}(u +\bar{u})</math>
* <math> x_2 = \frac{1}{3}(j u +\bar{j}\bar{u})</math>
* <math> x_3= \frac{1}{3}(j^2u +\bar{j^2}\bar{u})</math>
 
=== تفسير الطريقة ===
==== الصيغة المختصرة ====
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: <math> \qquad a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>,
 
نضع: <br /><math>x = z - \frac{a_2}{3a_3}</math>
<br /> لنحصل على الصيغة:
<br /><math> \qquad z^3 + p z + q = 0</math>
<br />نضع الآن:
<br /><math> \qquad z = u + v</math>
الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد، لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
<br /><math> \qquad (u+v)^3 + p (u+v) + q = 0</math>
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
<br /><math> \qquad u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0</math>
شرط التبسيط يكون إذن:
<br /><math> \qquad 3uv+p=0</math>
الذي يعطي من جهة:
<br /><math> \qquad u^3+v^3+q=0</math>
و من جهة أخرى:
<br /><math> \qquad uv=-\frac{p}{3}</math>
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
<br /><math> \qquad u^3v^3=-\frac{p^3}{27}</math>
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين <math>\mathcal {}u^3</math> و<math>\mathcal {}v^3</math> الآتية :
<br /><math> \qquad u^3+v^3=-q</math>
<br /><math> \qquad u^3v^3=-\frac{p^3}{27}</math>
<br /><math>\mathcal {}u^3</math> و<math>\mathcal {}v^3</math>
هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
<br /><math> X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0</math>
 
== المعادلة من الدرجة الرابعة ==
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/معادلة_جبرية»