ويكيبيديا

مرونة خطية: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
[مراجعة غير مفحوصة][مراجعة غير مفحوصة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
ط روبوت: تغييرات تجميلية
CipherBot (نقاش | مساهمات)
916٬418 edits
ط تدقيق إملائي وتنسيق,
سطر 1:
'''مرونة خطية''' ( Linear elasticity ) هي دراسة [[رياضيات|رياضية]] لكيفية تشويه ( Deform ) الأجسام [[صلب|الصلبة]] ليصبح الجسم متداخلا ( "مضغوطا للداخل" Internally Stressed ) بسبب الظروف التي تعرض لها. تعتمد [[المرونة]] الخطية على [[الفرضية الاستمرارية]] ( Continuum Hypothesis ) و تطبقوتطبق عيانيا أو [[مجهر|مجهريا]]( بعض الأحيان ).و المرونة الخطية هي تبسيط [[نظرية|للنظرية]] الأكثر عموما و هيوهي [[نظرية المرونة الغير خطية]] ( Nonlinear Theory of Elasticity ) و هيوهي فرع من [[ميكانيكا استمرارية|الميكانيكا الإستمراريةالاستمرارية]] ( Continuum Mechanics ).
 
الإفتراضات الأساسية "الخطية ( linearizing )" للمرونة الخطية هي:
* وجود سلاسل متناهية في الصغر .
* [[علاقة خطية للطاقة الحرة|العلاقة الخطية]] في [[عنصر|العناصر]] بين الضغط ( Stress ) و الإجهادوالإجهاد.
* المرونة الخطية لا تستخدم إلا في حالة الضغوط.
و هذه الإفتراضات معقولة بالنسبة للعديد من الموارد الهندسية و التصميموالتصميم الهندسي. لذلك أُستخدمت بشكل واسع في قواعد التحليل أو هيكليته و التصميموالتصميم الهندسي ,و كثير من الأحيان تستخدم للمساعدة في [[نظرية العناصر المحدودة|تحليل العناصر المحدودة]] .
 
== الصيغة الرياضية ==
سطر 21:
:<math>\boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]\,\!</math>
 
* المعادلات الأساسية.يمثل [[قانون هوك]] السلوك المادي ويربط بين الضغط المجهول والإجهاد. و المعادلةوالمعادلة العامة لقانون هوك هي:
 
:<math>
سطر 29:
حيث:
 
* <math>\boldsymbol{\sigma}</math> هو إجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
* <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> هو إجهاد متناهي الصغر تنسور( infinitesimal strain tensor ),
* <math>\mathbf{u}</math> هو [[موجة الإزاحة]],
* <math>\mathsf{C}</math> هو تنسور لتصلب المواد( tensor of material stiffness ),
* <math>\mathbf{F}</math> هو قوة الجسم لكل و حدةوحدة حجم,
* <math>\rho</math> هو [[الكثافة الحجمية]]( mass density ),
* <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot(\bullet)</math> هو [[معيار الإنحراف]]( divergence operator ),
* <math>\boldsymbol{\nabla}(\bullet)</math> يمثل [[معيار الميل]] و <math>(\bullet)^T</math> يمثل النقل,
* <math>\ddot{\bullet}</math> يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت(اي [[التسارع]]).
 
سطر 59:
حيث:
 
* <math> \sigma_{ij}=\sigma_{ji}\,\!</math> هي إجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
* <math> F_i\,\!</math> هي قوة الجسمالجسم، * <math> \rho\,\!</math> هي الكثافة الحجمية(mass density),
* <math> u_i\,\!</math> الازاحة، * <math> C_{ijkl}\,\!</math> هي تنسور مرن (elasticity tensor)، * <math> \lambda, \mu, \nu,\,\!</math> و<math> E\,\!</math> هي ثابت المادة، * <math> \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\,\!</math> هي الاجهاد، * <math>\partial_t\,\!</math> هي <math>\partial/\partial t\,\!</math>.
* <math> \rho\,\!</math> هي الكثافة الحجمية( mass density ),
* <math> u_i\,\!</math> الازاحة ,
* <math> C_{ijkl}\,\!</math> هي تنسور مرن ( elasticity tensor ) ,
* <math> \lambda, \mu, \nu,\,\!</math> و <math> E\,\!</math> هي ثابت المادة ,
* <math> \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\,\!</math> هي الاجهاد ,
* <math>\partial_t\,\!</math> هي <math>\partial/\partial t\,\!</math>.
 
== وسائل الخواص الموحدة المتجانسة ==
 
من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) و السلاسلوالسلاسل المتكونة (التشوهات).و في الخواص الموحدة للوسط(اي هواء أو ماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لا يكون اي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة سوف لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة) .و في حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:
 
:<math> C_{ijkl}
السطر 77 ⟵ 72:
\,\!</math>
 
حيث K ( فقدان المقدرة) و <math>\mu\,\!</math> (الجمود) و هماوهما ثابتان و يطلقويطلق عليهما معاملا المرونة,المرونة، إذا كان الوسط متجانس تام, فإن معاملات المرونة ( K و <math>\mu\,\!</math>) لن تكون مهمة للوسيط اي ان كل منهما بمقدار وحدة واحدة.
 
المعادلة الأساسة هي:
السطر 84 ⟵ 79:
\,\!</math>
 
و يقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين,ومعين، الايمنوالايمن المرافق لقوة شد معينة.و بعبارة ابسط:
:<math> \sigma_{ij}
=\lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij}
السطر 96 ⟵ 91:
\,\!</math>
 
و هو كما ذكرنا سابقا بأن الشق الايمن يعبر عن قوة الشد و الايسروالايسر عن الضغط.و بمعادلة ابسط:
 
:<math>\varepsilon_{ij}
السطر 106 ⟵ 101:
=== الالستوستاتيك ===
 
هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن, حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر, و الازاحةوالازاحة هنا ليست دالة الوقت. و معادلةومعادلة التوازن هي:
 
:<math>
السطر 114 ⟵ 109:
=== صيغة الازاحة ===
 
ان الازاحات متواجدة في كل مكان ولا يوجد فواصل لها. و فيوفي هذا السياق فان الضغط و الاجهادوالاجهاد سوف لن تكون مجهولة حسب قانون هوك, كما هو مبين في المعادلة التالية:
 
:<math>\begin{align}
السطر 122 ⟵ 117:
\,\!</math>
 
* اختلاف التوسعات ( Differentiating yields ):
 
:<math>
السطر 133 ⟵ 128:
:<math>\mu u_{i,jj}+(\mu+\lambda)u_{j,ij}+F_i=0\,\!</math>
 
حيث <math>\lambda\,\!</math> و <math>\mu\,\!</math> معايير عوجاء( Lamé parameter ).
 
=== المعادلة التوافقية الثنائية ===
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/مرونة_خطية»