قطع مخروطي: الفرق بين النسختين

في [[الهندسة الوصفية]] القطعة المخروطية هو [[منحنى]] يُحصل عليها عند تقاطع [[مخروط]] <math>K</math> بسطح لا يمر برأس <math>K</math> و غيروغير مماس له (التقاطع في هذه الحالات نقطة أو مستقيم).

<math> PS = e . PM </math>

لها ثلاثة أنواع هي القطع المكافئ(شلجم)، الزائد(هذلول)،والناقص(اهليج). وقد تعتبر الدائرة نوعاً رابعاً (كما اعتبرها أبولونيو)أو بمكن اعتبارها نوع من القطوع الناقصة. يتشكل القطع الناقص والدائرة عندما يكون تقاطع المستوى والمخروط منحنى مغلق. تتشكل الدائرة عندما يكون المستوى القاطع موازيً لدائرة القاعدة المولدة للمخروط- بالنسبة لمخروط يميني (كما في الشكل المقابل في أعلى الصورة) يكون المستوى القاطع عمودياً على محور تماثل المخروط.إذا كان المستوى القاطع موازي لخط واحد فقط من الخطوط المولدة للمخروط حينها يصبح القطع مفتوحاً وليس مغلقاً فيسمى [[قطع مكافئ|قطعاً مكافئاً]]. وفي الحالة الأخيرة يتكون [[القطع الزائد]] عندما يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط الإثنين ،الإثنين، مكوناً بذلك منحنيين منفصلين ومفتوحين ،ومفتوحين، يتم في الغالب تجاهل أحدهما والعمل بالآخر.

يوجد عدد من الحالات الشاذة تحدث عندما يمر المستوى القاطع برأس المخروط Apex. التقاطع في هذه الحالات قد يكون خطاً مستقيما ً(إذا كان المستوى مماساً لسطح المخروط)؛ أو نقطة( إذا كان الزاوية بين المستوى ومحور المخروط أكبر من المماس)؛ أو زوج من الخطوط المتقاطعة (عندما تكون الزاوية أصغر).

شروط التعريف الأربعة الواردة أعلاه يمكن جمعها في شرط واحد يعتمد على نقطة افتراضية ''F''(البؤرة) ومستقيم ''L'' (الدليل)لا يمر بـ ''F''وعدد حقيقي غير سالب ''e'' (معامل الإختلاف المركزي).القطع المخروطي المقابل يتكون من جميع النقاط التي تبعد عن ''F'' مسافةً تساوي ''e'' مرة بعدها عن ''L''. إذا كانت ''e'' بين 0 و 1 نحصل على قطع ناقص،إذاناقص، إذا كانت ''e''=1 نتحصل على قطع مكافئ وإذا كانت أكبر من 1 نحصل على قطع زائد.

هناك دليلين وبؤرتين لكل من القطع الزائد والناقص. المسافة من المركز إلى الدليل هي <math>a/e</math> ، بينما <math>a \ </math> هو [[المحور شبه الأكبر]]- semi-major axis - للقطع الناقص، أو المسافة من المركز إلى قمة القطع الزائد. المسافة من المركز للبؤرة هي <math>ae \ </math>.

# معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين''' س ،س، ص''' ويمكن كتابة هذه المعادلة على الصورة التالية:

'''أ س2 + 2ب س ص + جـ ص2 +2د س +2هـ ص + و = .'''

في [[النظام الإحداثي الديكارتي]] ، [[منحنى الدالة|المنحنى]] ل[[دالة تربيعية]] في متغيرين هو دائماً قطع مخروطي ،مخروطي، وكل القطوع المخروطية تتكون بهذه الطريقة. معادلتها تكون في الصورة:

* إذا كانت <math>B^2 - 4AC < 0 </math> ، نحصل على معادلة [[قطع ناقص]](مالم يكن المخروط منحل ،منحل، مثلاً <math>x^2 + y^2 + 10 = 0 </math> )؛

** إذا كان <math>A = C </math> و <math>B = 0 </math> المعادلة تمثل [[دائرة]]؛

* إذا كان <math>B^2 - 4AC = 0 </math> ، نحصل على معادلة [[قطع مكافئ]].

* إذا كان <math>B^2 - 4AC > 0 </math> ، نحصل على معادلة [[قطع زائد]].

: <math>\begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} +Dx +Ey+F= 0. </math>

: <math>\begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = 0. </math>

مثل هذه الصيغ تكون متماثلة حول محور ''x'' ، وبالنسبة للدائرة، القطع الزائد، والناقص حول محور ''y''

القطع الزائد المستطيل هي حالة التماثل الوحيدة التي تكون حول <math>y = x</math> و <math> y = -x</math>. لذلك فان دالتها العكسية هي نفس الدالة الأصلية.

: <math>\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0. </math>

<math> \Delta = \det(M) = \det\left(\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}\right) </math> تدعى [[محددة]] القطع المخروطي. إذا كان Δ = 0 فإن القطع المخروطي يسمى "منحلاً Degenerate" ، وهذا يعني أنه في الحقيقة عبارة عن اتحاد خطين مستقيمين. أي قطع مخروطي يتقاطع مع نفسه هو قطع منحلة ،ولكن ليس كل القطوع المنحلة تقاطع نفسها ،وفي هذه الحالة يكون القطع خطاً مستقيماً.

على سبيل المثال القطع المخروطي <math>\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 </math> يختزل اتحاد المستقيمين:

<math> \delta = \det\left(\begin{bmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{bmatrix}\right) </math> يدعى مميز القطع المخروطي. اذا كان δ = 0 فالقطع المخروطي مكافئ ،مكافئ، اذا كان δ<0 فهو زائد، واذا كان δ>0 فهو ناقص. اذا كان δ>0 و A₁ = A₂ فهي دائرة، أما اذا كان δ<0 و A₁ = -A₂ فهو قطع زائد مستطيل. يمكن اثبات أنه في [[مستوى الإسقاط المركب]] '''CP²''' قطعين مخروطيين بـ 4 نقاط مشتركة(إذا أخذنا في الإعتبار التعددية Multiplicity )أي لا يوجد اكثر من 4 نقاط تقاطع ويوجد دائماً نقطة تقاطع واحدة(الإحتمالات: 4 نقاط تقاطع مختلفة ،مختلفة، نقطتي تقاطع فرديتين و نقطةونقطة تقاطع مزدوج، نقطتي تقاطع مزدوج، نقطة تقاطع فردي ونقطة تقاطع بتعددية 3، نقطة تقاطع واحدة بتعددية 4 ). إذا وجدت نقطة تقاطع واحدة على الأقل ذات تعددية>1 ،1، يقال بأن القطعين المخروطيين [[مماس|متماسين]]. إذا كان هناك نقطة تقاطع واحدة ذات تعددية 4 يقال ان القطعين متلامسين osculating.

إضافة لذلك، كل [[خط مستقيم]] يقاطع كل من القطعين المخروطيين مرتين. اذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة يعتبر الخط مماساً ويسمى [[المماس]]. لأن كل مستقيم يقاطع القطع مرتين فإن كلا القطعين المخروطيين له نقطتين في ال[[مالانهاية|المالانهاية]](تقاطع النقاط مع خط المالانهاية) إذا اذا كانت النقطتين حقيقيتين فلابد أن يكون القطع زائداً ،زائداً، واذا كانتا تخيليتين فلابد أن يكون القطع ناقصاً، اما إذا كان للقطع نقطة واحدة مزدوجة في مالانهاية فهو مكافئ.