|
في الحقل [[رياضيات|الرياضي]] لنظرية التمثيل، يقوم '''تمثيل الزمر''' بوصف الزمر المُجرَّدة عن طريق [[تحويل خطي|التحويلات الخطية]] [[تقابل (دالة)|التقابلية]] [[فضاء متجهي|للفضاءات المتجهية]]؛ (على سبيل المثال: [[تماثل ذاتي|التماثلات الذاتية]])، وبشكل خاص، يمكن استخدام تمثيل الزمر لتمثيل عناصر الزمر مثل [[مصفوفة قابلة للعكس|تعاكس المصفوفات]] وذلك يُمكن من تمثيل عملية الزمرة عن طريق [[ضرب المصفوفات]].<ref>{{مرجعاستشهاد ويب| مسار = https://d-nb.info/gnd/4148816-7 | عنوان = معلومات عن نظرية التمثيل (جبر) على موقع d-nb.info | ناشر = d-nb.info|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191215010603/https://d-nb.info/gnd/4148816-7|تاريخ أرشيف=2019-12-15}}</ref><ref>{{مرجعاستشهاد ويب| مسار = https://www.zhihu.com/topic/20008470 | عنوان = معلومات عن نظرية التمثيل (جبر) على موقع zhihu.com | ناشر = zhihu.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150420013011/http://www.zhihu.com/topic/20008470 | تاريخ أرشيف = 20 أبريل 2015 }}</ref><ref>{{مرجعاستشهاد ويب| مسار = https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00563848 | عنوان = معلومات عن نظرية التمثيل (جبر) على موقع id.ndl.go.jp | ناشر = id.ndl.go.jp}}</ref> تُعتبر عملية تمثيل الزمر مُهمَّة حيث إنها تسمح للقضايا المُتعلِّقة بنظرية الزمر بأن اُختزلت إلى قضايا في الجبر الخطي,الخطي، والذي يكون من السهل استيعابه. ولها أهميتها أيضًا في مجال الفيزياء,الفيزياء، فعلى سبيل المثال,المثال، تقوم بشرح كيف أن زمرة التماثل لنظام فيزيائي يؤثر على الحلول للمعادلات التي تشرح هذا النظام.
يُستعمل مصطلح ''تمثيل الزمرة'' أيضًا بمعنى عام وشامل أكثر ويعني أي "وصف" لأي زمرة مثل زمرة التحويلات لبعض الكائنات الرياضية. وعلاوة على ذلك,ذلك، فإن كلمة "تمثيل" تعني [[تشاكل]] من الزمرة زمرة التشاكل الآلي لكائن ما. فإذا كان هذا الكائن عبارة عن فضاء اتجاهي,اتجاهي، إذًا فهذا ''تمثيل خطي''. بعض الناس يستخدمون المصطلح ''التحقق'' (بالإنجليزية:realization) ليشير إلى المفهوم العام أما المصطلح ''التمثيل'' فيُستخدم في الحالات الخاصة من التمثيل الخطي. مُعظم هذه المقالة تشرح نظرية التمثيل الخطي; انظر القسم الأخير للتعرُّف على حالات التعميم.
==التعريفات==
إن '''تمثيل''' زمرة ''G'' على الفضاء المتجهي ''V'' في الحقل الرياضي ''K'' هو عبارة عن تشاكل الزمر من القيمة ''G'' إلى القيمة ''GL''(''V''), وهي الزمرة الخطية العامة على ''V''. وهذا يعني,يعني، التمثيل هو رسم بياني
:<math>\rho \colon G \to GL(V) \,\!</math>
حيث
وفي حالة كون القيمة ''V'' من البُعد المتناه ''n'' فمن الشائع اختيار أساسًا ل''V'' وتحديد GL(''V'') باستخدام GL(''n'', ''K'') زمرة ''n''-في-''n'' [[معكوس المصفوفة]] في الحقل الرياضي ''K''.
* إذا كان ''G'' زمرة طوبولوجية ''V'' هي الفضاء الاتجاهي الطوبولوجي,الطوبولوجي، إذًا فإن '''التمثيل المُتصِّل''' ل''G'' في ''V'' هو التمثيل (ρ) حيث إن التطبيق <math>\Phi:G\times V\to V</math> مُحدَّد باستخدام <math>\Phi(g,v)=\rho(g)(v)</math> يكون [[الدالة المتصلة (الطوبولوجيا)|مُتصِّلًا]].
* كما أن '''أساس''' التمثيل ρ لزمرة ''G'' يساوي الزمرة الفرعية القياسيَّة ل''G'' ورمزه الذي يدخل ضمن ρ يصبح التحويل المُتطابق:
: <math>\ker \rho = \left\{g \in G \mid \rho(g) = \mathrm{id}\right\} \,\!.</math>
: A التمثيل الوفيّ هو التمثيل حيث يحدث أن تشابه الشكل''G'' → GL(''V'') يكون تباينيًا; بمعنى آخر,آخر، التمثيل الذي يكون أساسه هو الزمرة الفرعية البسيطة {''e''} وتتكوَّن فقط من العنصر الحيادي للزمرة.
* فإذا كان هناك ''K'' فضاءان اتجاهيَّان ''V'' و''W'', إذًا التمثيلان
| 