جبر بول: الفرق بين النسختين

تم إزالة 6 بايت ، ‏ قبل سنة واحدة
ط
وسوم: تحرير من المحمول تعديل ويب محمول تعديل المحمول المتقدم
'''جبر بُول''' {{إنج|Boolean Algebra}} هو أحد مواضيع [[رياضيات|الرياضيات]] [[منطق رياضي|والرياضيات المنطقيّة]] [[رياضيات متقطعة|والرياضيات المُتقطّعة]]، ويُعتَبر فرعاً من فروع [[جبر|الجبر]] حيثُ يعمل [[متغير (رياضيات)|بمُتغيّرين]] اثنين هما ''الصح'' أو ''الخطأ'' ويُرمز لهما بالعددين 1 و 0 بعكس [[جبر ابتدائي|الجبر الإبتدائي]] الذي قد يكون المُتغيّر فيه أي [[مجموعات الأعداد|عددٍ]] كان. وفي حين أن العمليّات الرئيسيّة في الجبر هي [[جمع|الجمع]] [[ضرب|والضرب]]، تكون العمليّات في الجبر البولي هي '''[[عطف منطقي|العطف]]''' أو '''الوصل''' {{إنج|Conjunction}} وتُقرأ على أنّها [[حرف عطف|''واو العطف'']] ''( وَ and)'' ويُرمز لها بالرمز ∧؛ والعمليّة الثانية هي '''[[فصل منطقي|الفصل]]''' {{إنج|Disjunction}} وتُقرأ على أنّها ''حرف التخيير (أو or)'' ويُرمز لها بالرمز ∨؛ وثالث العمليّات الرئيسيّة هي '''[[نفي (رياضيات)|النفي]]''' {{إنج|Negation}} ''(ليس not)'' ويُرمز لها بالرمز ¬. وبهذا، تكون العلاقات في الجبر البولي مُشابِهة للعلاقات العددية المستخدمة في الجبر المعتاد.
 
يُنسَب الجبر البولي لعالِم الرياضيات البريطاني [[جورج بول]] الذي ابتكرها وقدّمها في كتابِه الأوّل تحليل الرياضيات المنطقيّة (''The Mathematical Analysis of Logic'') عام 1847، وشرحها أكثر ووضع أُسسها في كتابِه استقراء قوانين التفكير (''An Investigation of the Laws of Thought'') عام 1854.<ref>[[جورج بول|Boole, George]] (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-089-9.</ref> وأول من اقتَرح مُصطلح "الجبر البولي" على هذا النوع من الجبر هو الرياضياتي الأمريكي {{وإو|تر=Henry M. Sheffer|عر=هنري موريس شيفر|نص=هنري م. شيفر}} عام 1913.<ref>"The name Boolean algebra (or Boolean 'algebras') for the calculus originated by Boole, extended by Schröder, and perfected by Whitehead seems to have been first suggested by Sheffer, in 1913." E. V. Huntington, "[http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-01/S0002-9947-1933-1501684-X/S0002-9947-1933-1501684-X.pdf New sets of independent postulates for the algebra of logic, with special reference to Whitehead and Russell's Principia mathematica]", in Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 274-304; footnote, page 278. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170908084210/http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-01/S0002-9947-1933-1501684-X/S0002-9947-1933-1501684-X.pdf |date=08 سبتمبر 2017}}</ref>
 
عندما وضع جورج بول أُسس الجبر البولي لم يكن لهُ ذلك القدر من الأهميّة كما عندنا في الوقت الحالي، ولكن مع مجيء عصر [[حاسوب|الحواسيب]] اتّضَح لنا إنه بإستطاعتناباستطاعتنا تشغيل الحاسوب وبرمجته بواسطة اتّباع الطريقة البُولية، حيث أن الحاسوب يستخدم 0 و1 في عمليّاته وتفاهماته. وبذلك ساعَد الجبر البولي على تطوير [[إلكترونيات رقمية|الإلكترونيات الرقمية]]، كما أنّه يُستَخدم في [[نظرية المجموعات|نظريّة المجموعات]] و[[إحصاء|الإحصاء]].<ref>Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.</ref>
 
== القيَم ==
=== عمليّات أساسيّة ===
ثلاثة عمليّات رئيسيّة في الجبر البولياني، هي:
* [[عطف منطقي|العطف]] تُقرأ على أنّها [[حرف عطف|''واو العطف'']] ''( وَ and)'' ويُرمز لها بالرمز ∧.
* [[فصل منطقي|الفصل]] تُقرأ على أنّها ''حرف التخيير (أو or)'' ويُرمز لها بالرمز ∨.
* [[نفي (رياضيات)|النفي]] تُقرأ على أنها لا النافية، أو أي كلمة تُفيد النفي ''(ليس not)'' ويُرمز لها بالرمز ¬.
 
=== عمليّات ثانوية ===
إن العمليّات المذكورة أعلاه هي العمليّات الأساسيّة في الجبر البولياني، هذا يعني أنّنا نستطيع إشتقاقاشتقاق عمليّات أُخرى مبنيّة على هذه العمليّات الأساسيّة. والعمليّات الثلاث المُشتقّة هي:
:<math>x \rightarrow y = \neg{x} \vee y</math>
:<math>x \oplus y = (x \vee y) \wedge \neg{(x \wedge y)}</math>
بعد ذلك يمكن توزيع <math>A</math> على <math>(A \lor B)</math> وتوزيع <math>C</math> على <math>(A \lor B)</math> باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:
 
<math>((A \lor B) \land A) \lor ((A \lor B) \land C) = (A \land A) \lor (B \land A) \lor (A \land C) \lor (B \land C)</math>
 
ونلاحظ أن قيمة <math>(A \land A)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن قيمة <math>(A \land A)</math> تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال <math>(A \land A)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة.
 
<math>(A \land A) \lor (B \land A) \lor (A \land C) \lor (B \land C) = A \lor (B \land A) \lor (A \land C) \lor (B \land C)</math>
 
نلاحظ أيضاً أن قيمة <math>A \lor (B \land A) \lor (A \land C)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي <math>B</math> و<math>C</math>. وبهذا يمكن استبدال <math>A \lor (B \land A) \lor (A \land C)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة:
 
<math>A \lor (B \land A) \lor (A \land C) \lor (B \land C) = A \lor (B \land C) = L.H.S</math>