توفيق (رياضيات): الفرق بين النسختين

'''التوافيق''' {{إنج|Combination}} (جمع '''التوفيق''') أو '''التوفيقات''' (ج '''التوفيقة''') ويسمى أيضا '''التوليف''' و'''التوليفة''' و'''التركيب'''، هي عدد التشكيلات الممكنه لانتقاء [[مجموعة جزئية]] من مجموعة كلية من العناصر عندما يكون ليس هناك أهمية للترتيب.أو بعبارة أخرى, «التوافيق» هي عبارة عن عدد الطرق التي يمكن فيها انتقاء «ر» من العناصر من ضمن «ن» من العناصر المتوفرة دون مراعاة لترتيب تسلسل العناصر المنتقاة ضمن التشكيلات الممكنة للمجموعة الجزئية.<ref>{{مرجعاستشهاد ويب|مسار=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|عنوان=Combinations - Rosetta Code|ناشر=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171224002413/http://rosettacode.org/wiki/Combinations | تاريخ أرشيف = 24 ديسمبر 2017 }}</ref><ref>{{مرجعاستشهاد كتاببكتاب |عنوان = High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B| إصدار=2nd | مكان = China|لغة = Chinese |تاريخ=June 2006| ناشر = People's Education Press| صفحات = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{مرجعاستشهاد ويب|مسار=http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |تنسيق=PDF |عنوان=SAGE : Subsets |موقع=Sagemath.org |تاريخ الوصول=2017-04-10| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171014180912/http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html | تاريخ أرشيف = 14 أكتوبر 2017 }}</ref><math> \mathbf{C}(n,k)</math> عدد التوافيق أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة دون مراعاة الترتيب.,ويشير '''n''' لعدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها. و''' k''' يرمز إلى كيفية اخذ أفراد المجموعة.

تفاحه وكمثرى أو تفاحة وبرتقالة أو كمثرى و برتقالة. بصيغة رياضية، '''توافيق لعدد <math>k</math>'''(''k''-'''combination''' ) من مجموعة ما <math>S</math> هي مجموعة جزئية بها <math>k</math> من العناصر المختلفة من <math>S</math>. فإذا كانت المجموعة <math>S</math> بها <math> n</math> من العناصر فإن عدد توافيق لعدد <math> k</math> من <math>S</math>يساوي المعامل الثنائي المعرف بالعلاقة التالية:<br /><math> {n \choose k} = \frac{n\, (n-1) \ldots (n-k+1)}{k (k-1) \ldots 1}</math>،

: والتي يمكن كتابته بدلالة [[عاملي|المضروب]] بالشكل <math> \frac{n!}{k! (n-k)!}</math> شريطة أن <math> k >n</math> وتساوي صفر عندما <math> k<n</math>. دائما يرمز لمجموعة جميع التوافيق لعدد <math>k</math> من مجموعة <math>S</math> بالرمز <math> \binom{S}{k}</math>.

:التوافيق أو التراكيب هي تشكيلة مكونة من <math> k</math> من العناصر مأخوذة من مجموعة بها عدد <math> n</math> عنصر بحيث إختياراختيار العناصر هنا يتم بنفس الوقت وبدون تكرار. في حالة السماح بالتكرار فإن التراكيب في هذه الحالة تسمى بعدة مسميات أخرى ك مختارات لعدد <math> k</math> ( ''k''-selection )<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Ryser|1963|loc=p. 7}} also referred to as an ''unordered selection''.</ref> أو مجموعة متعددة من<math> k</math>( ''k''-[[:en:Multiset|multiset]] )<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Mazur|2010|loc=p. 10}}</ref> أو توافيق من <math> k</math> بتكرار (''k''-combination with repetition )<ref>When the term ''combination'' is used to refer to either situation (as in {{harv|Brualdi|2010}}) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.</ref>. ففي المثال السابق، إذا سمحنا بتكرار العناصر عند إنتقاء فاكهتين من مجموعة الفواكة الثلاث فإنه بالإضافة إلى ماسبق الحصول عليه سيكون لدينا ثلاث مختارات إضافية هي: تفاحتين أو برتقالتين أو اثنان من الكمثرى.

في هذا المثال من السهل كتابة جميع التوافيق الممكنة لقلة الأعداد هنا لكن هذا مستحيل في حالة الجموعات الكبرى. فعلى سبيل المثال في لعبة [[:en:Hand_(poker)|poker hand]] يمكن وصف توافيق لعدد <math> 5</math> من البطاقات من مختارة من <math> 52</math>بطاقة ( أي أن <math> k=5,n=52</math>). لابد من أن يكون إختياراختيار خمس بطاقات مختلفة لكن لايهم في هذه الحالة الترتيب. يوجد <math> 2,598,960</math>من التوافيق الممكنة في هذا المثال والذي يستحيل كتابتها جميعا لهذا العدد الكبير.

: (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، صفراء)

: (سوداء، حمراء) (حمراء، صفراء)

حيث لايوجد هنا أهمية للترتيب كون الكرتين يسحبان معا,معا، بمعنى اوضح الثنائية (سوداء، زرقاء) هي نفسها (زرقاءزرقاء، ,سوداء) وتعد مرة واحدة وليس مرتين.

يرمز لتوافيق بعدد '''<math>k</math>''' من مجموعة بها <math> n</math> من العناصر بالرمز<math> C(n,k)</math> أو برموز أخرى مختلفة مثل <math> C_k^n</math> أو<math>{}_nC_k</math>أو <math>{}^nC_k</math>أو <math>C_{n,k}</math> لكن الرمز <math>C_n^k</math> هو المعتاد إستخدامه في الكتابات الفرنسية والرومانية والروسية والصينية <ref>{{مرجعاستشهاد كتاببكتاب|عنوان=High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B|إصدار=2nd|مكان=China|لغة=Chinese|تاريخ=June 2006|ناشر=People's Education Press|صفحات=107–116|isbn=978-7-107-19616-4}}</ref> . نفس العدد يستخدم في الكتب الرياضية بالرمز <math> \binom{n}{k}</math> كمعامل [[نظرية ذات الحدين|لمعادلة ذات الحدين]]

ومن الواضح هنا أن <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math>. في حالة فإن <math>k >n</math> فإن <math>\binom{n}{k}=0</math>.

هذا الحاصل به <math>2^n</math> من الحدود المختلفة مقابل كل المجموعات الجزئية من <math>S</math>، ومقابل كل مجموعة جزئية حاصل [[ضرب]] المتغيرات المقابلة <math>X_s</math>. نختارالآن <math>X_s=X</math> لكل قيم <math>s</math> فإن حاصل الضرب سيكون في هذه الحالة <math>(1+X)^n</math>والحد المقابل لكل توافيق لعدد '''<math>k</math>''' سيصبح <math>X^k</math>. فبالتالي فإن المعاملات الناتجة من هذه القوى يساوي عدد التوافيق لعدد '''<math>k</math>''' .

يمكن حساب المعاملات الثنائية مباشرة بطرق مختلفة. لحساب هذه المعاملات من <math>(1+X)^n</math> فإنه يمكن استخدام علاقة [[استدعاء ذاتي|الإستدعاء الذاتي]] كالتالي

<math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math>لكل <math>0<k<n</math>.

وهذه المساواهالمساواة ناتجة من <math> (1+X)^{n}=(1+X)^{n-1} (1+X)</math> . يتم حساب كل [[معامل ثنائي]] بإستخدام التعريف

<math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{k!}</math>.

عندما تكون <math>k</math> أكبر من <math>\frac{n}{2}</math> ، فإنه سيكون هناك حدود مشتركة بين البسط والمقام بالمعامل الثنائي وبإختصارهاوباختصارها ينتج لنا

<math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> لكل <math>0\leq k\leq n</math>.

أيضا يمكن كتابة المعامل الثنائي بدلالة المضروب بالتعريف التالي

<math>\binom{n}{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}</math>.

في هذا المثال نريد حساب التوافيق لإختيارلاختيار خمس كروت من بين <math> 52</math>كرت مختلف كالتالي<math> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} =

2{,}598{,}960 .</math>بطريقة أخرى يمكن استخدام نفس المعادلة بإستخدام صيغة المضروب لإختصارلاختصار بعض الحدود المتكررة بالبسط والمقام بالطريقة التالية:

وهنا طريقة أخرى لإيجاد المطلوب بطريقة مختلفة مشابهه للطريقة الاولى لكن هنا تعتمد على الصيغهالصيغة

بإستخدام نفس الصيغة بدلالة المضروب وبدون أي إختصاراختصار أو تبسيط للحساب فإن هذا يتطلب حسابات أطول كما يلي:

=== تعداد <math>k</math> من التوافيق ===

== عدد <math>k</math> من التوافيق لكل <math>k</math> ==

== الإحتمالات: توافيق [[عشوائية]] ==