مبرهنة سافيتش: الفرق بين النسختين

أُضيف 23 بايت ، ‏ قبل سنة واحدة
ط
Bot: Replace deprecated <source> tag and "enclose" parameter، تغييرات تجميلية
ط (بوت: صيانة، obsolete-tag)
ط (Bot: Replace deprecated <source> tag and "enclose" parameter، تغييرات تجميلية)
{{مصدر|تاريخ=ديسمبر 2018}}
{{وصلات قليلة|تاريخ=نوفمبر 2017}}
في نظرية التعقيد الحسابي '''مبرهنة سافيتش''' هي نتيجة اساسية مهمة تحدد العلاقة بين تعقيد المساحة القطعي وغير القطعي . ونص المبرهنة هو :
<div style="text-align: center;">
<math> \forall s(n)>log(n) \mbox{ } , \mbox{ } NSPACE(s(n) \subseteq SPACE(s^2(n))</math>
في حين أنَّ ((NSPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر , ((SPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر .
 
== البرهان ==
فلتكن <math> L\in NSPACE(s(n))</math> لغة التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية , M , التي تستغل (s(n مساحة اضافية . لكل <math> x\in \{0,1\}^* </math> [[آلة تورنغ#صورة الة تورنغ|مخطط الصُوَر]] , G=G<sub>M,x</sub> , يوجد فيه على الأكثر <math> m=2^{s(n)} </math> رؤوس . لاحظ انَّ <math> x\in L </math> فقط اذا يوجد من الصورة الاولية , نرمز لها s , مسار موجه إلى الصورة النهائية , نرمز لها t , هذه المسألة تُعرف أيضا بمسألة الوصول وهي مسألة تقرير : معطى مخطط G , وكذلك رأسين s و-t ,قرر اذا ما يوجد مسار موجه بين s و- t . يمكن حل هذه المسألة بسهولة بواسطة DFS او BFS ولكن المساحة الاضافية المستخدمة خطية (اي <math>2^{O(s)}</math>) وهذا لا يفيد للمبرهنة .
 
نعرف (Reach(u,v,i على انه "نعم" اذا يوجد مسار بين u و- v طوله على الأكثر 2<sup>i</sup> و"لا" خلاف هذا . لاحظ انه :
# ((Reach(s,t,log(n = "نعم" فقط اذا يوجد مسار بين s و- t . (اي انه يمكننا حل مسألة الوصول)
# (Reach(u,v,i="نعم" <math> \iff</math> يوجد رأس z بحيث يمكن الوصول من u إلى z وطول المسار بينهما على الأكثر <math>2^{i-1}</math> , ويمكن الوصول من z إلى v حيث ان طول المسار بينهما على الأكثر <math>2^{i-1}</math> .
 
بواسطة هذه الملاحظات امكن ان نحصل على خوارزمية عودية والتي مساحتها الاضافية التي تستخدمها على الأكثر هي <math> O(s^2(n))</math> .
 
=== الخوارزمية ===
من الملاحظات السابقة يظهر انه ليتحقق (Reach(u,v,i="نعم" يكفي ان نجد z الذي يحقق (1-Reach(u,z,i="نعم" و (1-Reach(z,v,i="نعم" , لذا كل ما علينا فعله هو ايجاد z يحقق المطلوب , لذا فاننا سوف نبحث عنه عودياً (recursively) :
<sourcesyntaxhighlight lang="python">
def k_edge_path(s, t, k):
if k == 0:
return true
return false
</syntaxhighlight>
</source>
 
نلحظ انه يمكن استخدام المساحة التي قد استخدمت سابقا , لذا فان المساحة الاضافية يمكن التعبير عنها بالشكل التالي :
<math> s_{m,i}=s_{m,i-1}+O(log(m))</math> لذا من الملاحظة الاولى : لنحل مسألة الوصول ((i=O(log(m اي : <math> s_{m,log(m)}=s_{m,log(m)-1}+O(log(m))</math> وحل هذه العلاقة العودية هو <math> s_{m,log(m)}=log^2(m)=O(s^2(n))</math> وهذا هو المطلوب .
 
== استنتاجات ==
* PSPACE=NPSPACE , وهذا لان تربيع كثير الحدود هو أيضا كثير حدود .
* NL&sube;LNL⊆L<sup>2</sup> حيث أنَّ ((L<sup>2</sup>=SPACE(log<sup>2</sup>(n , وهذا ينبع من المبرهنة مباشرة , وكذلك لان مسألة الوصول هي مسألة كاملة في الصنف NL .
 
== انظر أيضا ==
* [[مبرهنة اميرمان-زليبتسيني]]
* [[بيسبايس]]
 
== مصادر ==
<div dir="LTR">
* {{citation | zbl=1193.68112 | الأخير1=Arora | الأول1=Sanjeev | الأخير2=Barak | الأول2=Boaz | العنوان=Computational complexity. A modern approach | الناشر=Cambridge University Press | السنة=2009 | isbn=978-0-521-42426-4 }}
* {{citation
| الأخير = Papadimitriou | الأول = Christos
| contribution = Section 7.3: The Reachability Method
| العنوان = Computational Complexity
| السنة = 1993}}
* {{citation
| الأخير = Savitch | الأول = Walter J.
| doi = 10.1016/S0022-0000(70)80006-X
| volume = 4
| السنة = 1970}}
* {{citation
| الأخير = Sipser
| الأول = Michael
208٬048

تعديل