ويكيبيديا

قوس الظل: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
وسوم: أزال التحويلة تحرير من المحمول تعديل ويب محمول تعديل المحمول المتقدم
لا ملخص تعديل
وسوم: تحرير من المحمول تعديل ويب محمول تعديل المحمول المتقدم
سطر 45:
 
== مشتق ==
دالة الجيبالظل العكسية تقبل [[مشتق (رياضيات)|الإشتقاق]] على المجال {{Math|]–1, 1[}}<math>\R</math> ودالتها المشتقة هي:
 
<math>\arcsin'x=\frac1{1+x^2}</math>
 
=== إثبات ===
يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:<math>(\arcsinarctan x)' ={d \over dx} \arcsinarctan x</math>
 
نضع <math>\theta = \arcsinarctan x</math>:
 
:<math>\frac {d\theta}{d \sintan \theta}
= \frac {d\theta}{d\theta (1+\costan ^2 \theta)}
= \frac {1}{1+\costan ^2 \theta}
= \frac {1}{\sqrt{1-\sin +x^2 \theta}}</math>
= \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 
== تمثيل بواسطة متسلسلة ==
يمكننا تمثيل الدالة بواسطة [[متسلسلة تايلور]]:
 
:<math>\forall x\in [-1,1]\quad
إذا كانت <math>|z|\le1</math>،
\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots
 
: </math>.
\begin{align}
\arcsin z& =z+\frac12\cdot\frac{z^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{z^5}5+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{z^7}7+\dots\\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n} n z^{2n+1}}{4^n (2n+1)}.
\end{align}
</math>
{{برهان|
[[متسلسلة تايلور]] للدالة المستقة هي:
:<math>\begin{align}\arcsin'(z)&=(1-z^2)^{-\frac12}\\&=1+\left(-\frac12\right)(-z^2)+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}2(-z^2)^2+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{2\cdot3}(-z^2)^3+\cdots\\
&=1+\frac12z^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}z^4+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}z^6+\dots,\end{align}</math>
[[تكامل|بمكاملتها]] نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.}}
 
== الشكل التكاملي ==
يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :
 
{{Pad}}<math>\arcsin x = \int_0^x \frac {1}{\sqrt {1-t^2}} dt</math>
 
== المشتق العكسي ==
يتم الحصول على [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]] لدالة قوس الجيب عن طريق [[التكامل بالتجزئة]] :
 
<math>\int\arcsin x\,\mathrm dx=x\arcsinarctan x+-\frac12\ln\sqrt{left(1-+x^2}\right) + C</math>
 
== العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام ==
[[ملف:Arcsine_Arccosine.svg|يسار|upright=0.5|تصغير| {{Math|arccos ''x''}} (بالأزرق) و {{Math|arcsin ''x''}} (بالأحمر)]]
 
من أجل كل عدد حقيقي {{Math|''x''}} محصور بين {{Math|–1}} و {{Math|1}} : <math>\arccos x+\arcsin x=\frac\pi2</math>
 
== الشكل اللوغاريتمي ==
يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام [[لوغاريتم عقدي|اللوغاريتم العقدي]]:
 
:<math>\forall x\in\Complex\setminus\left({\rm i}\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\right)\quad\arctan x=\frac1{{\rm i}}\operatorname{artanh}({\rm i}x)=\frac1{2{\rm i}}\ln\frac{1+{\rm i}x}{1-{\rm i}x}=\frac{\ln(1+{\rm i}x)-\ln(1-{\rm i}x)}{2{\rm i}}</math>.
<math>\arcsin x= -i\ln\left(ix+\sqrt{1-x^2}\right)</math>
 
== طالع أيضًا ==
 
* [[دوال مثلثية عكسية]]
* [[دالة الجيب العكسية]]
* [[دالة جيب التمام العكسية]]
 
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/قوس_الظل»