جذر نوني: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط بوت:التصانیف المعادلة (3.9):+ 1 (تصنيف:عمليات ثنائية) |
Mr.Ibrahembot (نقاش | مساهمات) ط بوت:إضافة وصلة أرشيفية. |
||
سطر 20:
هناك تضارب في المعلومات حول أصل الرمز <math>\sqrt{}</math> لعملية الجذر. بعض المصادر تشير أن الرمز استُعمل للمرة الأولى على يد الرياضياتيين العرب. أحد هؤلاء الرياضياتيين العرب هو [[أبو الحسن علي القلصادي]] (1421-1486) في [[الأندلس]]. يُقال أن رمز الجذر مستمدّ من الحرف ''ج''، الحرف الأول من الكلمة ''جذر'' في اللغة العربية. بالرغم من ذلك، يؤمن بعض العلماء، ومن ضمنهم [[ليونهارد أويلر]]<ref>{{مرجع كتاب|العنوان=''Institutiones calculi differentialis''|المؤلف=Leonhard Euler|سنة=1755|لغة=Latin}}</ref>، أن أصل رمز الجذر هو الحرف ''r''، الحرف الأول من الكلمة ''radix''، "جذر" في اللغة اللاتينية والتي ترمز لنفس العملية الحسابية. وجد رمز الجذر للمرة الأولى في المواد المطبوعة وذلك بدون الخط العلوي (الخط الأفقي الذي فوق العدد داخل رمز الجذر) في كتابات بعنوان Die Coss من سنة 1525 للرياضياتي الألماني كريستوف رودولف.
== تعريف وتدوين ==
[[ملف:NegativeOne4Root.svg|تصغير|200بك| أربعة الجذور من الدرجة الرابعة للعدد 1-<br /> لا أحد منها عدد حقيقي]]
سطر 26:
'''الجذر النوني''' لعدد ما ''x''، حيث أن ''n'' هو عدد صحيح موجب، هو عدد ''r'' إذا رفعناه للقوة ''n'' نحصل على ''x'':
:<math>r^n = x\!\,</math>
كل [[عدد حقيقي]] موجب ''x'' له جذر نوني موجب واحد، ويكتب بالشكل التالي: <math>\sqrt[n]{x}</math>. إذا كان n مساويًا لـ 2 يسمى هذا الجذر جذرًا تربيعيًا، ولا يكتب العدد 2 فوق علامة الجذر. يمكن أيضًا كتابة الجذر النوني بالطريقة الأسية بالشكل الآتي:
لكل قيم ''n'' الزوجية يكون هنالك جذر نوني سالب لأي عدد موجب، بينما الأعداد السالبة ليس لها جذر نوني حقيقي. أما لقيم ''n'' الفردية فهنالك جذر نوني سالب لأي عدد سالب. مثلاً، العدد 2- له جذر خامس حقيقي، <math>\sqrt[5]{-2} \,= -1.148698354\ldots</math>، ولكن العدد 2- ليس له أي جذر سادس حقيقي.
سطر 42:
:<math>r^2 = x\!\,</math>
لكل عدد حقيقي موجب يوجد جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب. على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد 25 هما 5 و 5-.<br />
ولما كان مربع أي عدد حقيقي هو عدد حقيقي موجب فإن الأعداد السالبة لا توجد لها جذور تربيعية حقيقية. ومع ذلك لكل عدد سالب جذران تربيعيان مركبان. فمثلاً الجذران التربيعيان للعدد 25- هما 5''i'' و 5''i''-، حيث أن ''i'' هو الجذر التربيعي للعدد 1-.<ref>{{مرجع كتاب|title=رفيقُ الأزماتِ لمعالجة الضعف في الرياضياتِ|url= https://books.google.com.ly/books?id=jYklDwAAQBAJ&lpg=PT66&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&hl=ar&pg=PT63#v=onepage&q=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&f=false|publisher=دار العنقاء|date=2016-05-17|ISBN=9789957573393|language=ar|author1=خالد|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200126070405/https://books.google.com.ly/books?id=jYklDwAAQBAJ&lpg=PT66&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&hl=ar&pg=PT63#v=onepage&q=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&f=false|تاريخ أرشيف=2020-01-26}}</ref>
=== الجذور التكعيبية ===
سطر 53:
:<math>\sqrt[3]{8}\,=\,2\quad\text{and}\quad\sqrt[3]{-8}\,= -2</math>
كل عدد حقيقي له جذرين تكعيبيين إضافيين مركبين (انظر [[#الجذور المركية|الجذور المركبة]] في الأسفل).<ref>{{مرجع كتاب|title=رفيقُ الأزماتِ لمعالجة الضعف في الرياضياتِ|url= https://books.google.com.ly/books?id=jYklDwAAQBAJ&lpg=PT66&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&hl=ar&pg=PT64#v=onepage&q=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&f=false|publisher=دار العنقاء|date=2016-05-17|ISBN=9789957573393|language=ar|author1=خالد|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200126070414/https://books.google.com.ly/books?id=jYklDwAAQBAJ&lpg=PT66&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&hl=ar&pg=PT64#v=onepage&q=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B0%D9%88%D8%B1%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA&f=false|تاريخ أرشيف=2020-01-26}}</ref>
== مطابقات وخواص ==
سطر 66:
:<math>\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}.</math>
== الجذور من درجات أعلى ==
بالمثل يقال أن y هو '''جذر تكعيبي''' للعدد <math>x</math> إذا كان
<math>y^3=x</math>
ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز
سطر 79:
=== جذور تربيعية ===
الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا مضادان. مثلاً، الجذران التربيعيان للعدد 4- هما 2''i'' و 2''i''-، والجذران التربيعيان للعدد ''i'' هما
:<math>\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\quad\text{and}\quad\frac{-1 - i}{\sqrt{2}}</math>
من الممكن أيضا التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد <math>-1</math> بالرمز <math>i</math>، ويصبح
<math>3i</math>
هو الجذر التربيعي للعدد <math>-9</math>، وهكذا، اصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة <math>ai</math> حيث <math>a</math> عدد حقيقي '''بالكميات التخيلية'''، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.
تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أو من درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب، فالعدد الحقيقي <math>1</math> له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو 1 نفسه) لكن العددان المركبان
<math>-\sqrt{3}/2-i/2, -\sqrt{3}/2+i/2</math>
هما أيضا جذران تكعيبيان للواحد، بوجه عام الأعداد
<math>\cos(k\pi/n)+i\sin(k\pi/n), k=0,1,\dots, n</math>
هي جميعا جذور للواحد الصحيح من الدرجة <math>n</math>
== انظر أيضاً ==
* [[عدد جبري]].
* [[عدد لا كسري]].
| |||