مصفوفة (رياضيات): الفرق بين النسختين

تم إزالة 24 بايت ، ‏ قبل سنة واحدة
ط
بوت:إضافة قالب تصفح {{موتر}}+تنظيف (8.6); تغييرات تجميلية
(تنسيق ويكي)
ط (بوت:إضافة قالب تصفح {{موتر}}+تنظيف (8.6); تغييرات تجميلية)
في [[الرياضيات]]، '''المصفوفة''' {{إنج|Matrix}} هي مجموعة [[مستطيل|مستطيلة]]ة من [[الأعداد]] أو من [[رمز|الرموز]] أو من [[عبارة (رياضيات)|التعبيرات]] منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة :
 
::<math>
 
تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح [[جبر خطي|الجبر الخطي]]. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل [[نقل خطي|النقل الخطي]]. يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي [[تراكب دالة|الدالة المركبة]]. كما يمكن للمصفوفات تتبع [[المعاملات]] في [[نظام المعادلات الخطية]]
 
يمكن تعريف '''المصفوفة''' عامة على أنها [[دالة]] [[رياضيات|رياضية]] خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]] أو [[عدد عقدي|عقدية]] أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:<br />
<math>\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots&{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots&{a}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}\end{bmatrix}</math>
4 & 9 & 2 \\
6 & 0 & 5 \end{pmatrix}</math>
تدعى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالأسطر بينما تدعى الخطوط العمودية باسم عمود. أما الأعداد فتدعى مدخلات المصفوفة أو عناصر المصفوفة. ترمز إلى مصفوفة بحرف لاتيني كبير وتحته عددين طبيعيين على شكل جداء هما m و n حيث m هو عدد الصفوف و n عدد الأعمدة. وبالتالي تعرف المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة (''m''&nbsp;×&nbsp;n مصفوفة), وتعرف m و n بأبعاد المصفوفة. فأبعاد المصفوفة أعلاه هي 3*4 أي 4 أسطر و 3 أعمدة.
 
أما المصفوفة ذات العمود الواحد تحدد بالشكل (''m''&nbsp;×&nbsp;1 مصفوفة) وتعرف باسم [[متجه عمودي]]. بينما المصفوفة المؤلفة من صف وحيد و n عمود تحدد بالشكل (a 1&nbsp;×&nbsp;''n'' مصفوفة) وتعرف باسم [[متجه صفي]]
.<ref name="ريا1">
{{مرجع كتاب | العنوان = الرياضيات 1 جامعة دمشق| المؤلف = عازار الشايب | 1000journal = | | الصفحات = | السنة = 1990 | }}</ref>
 
المصفوفة هي جدول من العناصر، قد تكون أعدادا حقيقية أو أعدادا مركبة وقد تكون دوالا وهي صورة رياضية لوضع الأعداد في جدول.
منقول مصفوفة ما هو المصفوفة الناتجة عن المصفوفة '''A'''<sub>''m''x''n''</sub> بعد أن يتم تبديل الأعمدة بالأسطر وبالتالي تصبح '''A'''<sub>''n''x''m''</sub> ويرمز لها بالرمز '''A'''<sup>T</sup>. يلاحظ أن العنصر الذي يقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A، سيقع في الصف j والعمود i في منقول المصفوفة.
.<ref name="مصفوفة13">
{{مرجع كتاب | العنوان = نظريات ومسائل في المصفوفات| المؤلف = فرانك أيرز | 1000journal = الدار الدولية للنشر والتوزيع | | الصفحات = 13| السنة = | }}</ref>
 
على سبيل المثال، منقول المصفوفة A = <math>
\begin{bmatrix}
1 & 9 & 13 \\
 
من خواص منقول المصفوفة:<ref name="مصفوفة14">
{{مرجع كتاب | العنوان = نظريات ومسائل في المصفوفات| المؤلف = فرانك أيرز | 1000journal = الدار الدولية للنشر والتوزيع | | الصفحات = 14| السنة = | }}</ref>
* منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول هاتين المصفوفتين أي أن :
 
'''A+B''')<sup>T</sup> = '''A'''<sup>T</sup> + '''B'''<sup>T</sup>)
تدعى المصفوفة A [[مصفوفة قابلة للعكس]] إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:
: '''AB''' = '''I'''<sub>''n''</sub>
و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز '''A'''<sup>−1</sup>. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت [[مصفوفة غير شاذة]] ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة :<ref>
{{مرجع كتاب
| وصلة المؤلف = Gilbert Strang
| date = 2006
| الصفحات = 46
| الرقم المعياري = 0-03-010567-6 }}
</ref>
 
| date = 2006
| الصفحات = 137
| }}
</ref>
* معكوس معكوس مصفوفة هو المصفوفة الأصلية نفسها أي:
 
== مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول ==
 
لنعتبر مثلا الشعاع التالي:<br />
<math>V = \begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} \in {R}^{4}</math>
 
==المعادلات الخطية==
إذا وضع عدد من المتغيرات x في متجه عمودي حيث n عدد المتغيرات وبذلك يتكون المتجه من المتغيرات ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, و A مصفوفة ذات قياس nxm بحيث تتألف مدخلات المصفوفة من ثوابت المتغيرات, و b متجه عمودي يتألف من ثوابت المعادلات فإن:
:'''Ax''' = '''b'''
بحيث:
والمصفوفة المربعة التي لها نظير ضربي تسمى غير منفردة.
 
** نظرية :
تكون المصفوفة A مصفوفة منفردة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرا.
 
=== العمليات الأساسية على المصفوفات المربعة ===
==== أثر مصفوفة ====
يدعى مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة [[أثر (جبر خطي)|بأثر المصفوفة]] (tr('''A''' وبما أن الأثر التاتج عن مصفوفتين مستقل فإن ضرب أثري مصفوفتين هو [[عملية تبديلية]] أي : (tr('''AB''') = tr('''BA'''. كما أن أثر مصفوفة يساوي أثر منقول المصفوفة
tr('''A''') = tr('''A''')<sup>T</sup>
 
الطريقة الأولى:
# نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث.
# نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.
<math>
\begin{bmatrix}
 
ملحوظة:
الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات
حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.
 
الفك عن طريق المتعاملات:
إذا كانت مصفوفة من الدرجة
نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه
ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي
مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان
# ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i
# ويسمى مفكوك الصف حول العمود
 
{{تصنيف كومنز|Matrix}}
 
{{موتر}}
 
[[تصنيف:مصفوفات]]
2٬065٬537

تعديل