ويكيبيديا

قوانين كبلر للحركة الكوكبية: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
(عرض التغييرات قيد الانتظار للنسخة المنشورة)
[مراجعة غير مفحوصة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
لا ملخص تعديل
وسوم: تمت إضافة وسم nowiki تعديلات طويلة إزالة نصوص تحرير مرئي تحرير من المحمول تعديل ويب محمول
ط استرجاع تعديلات 2001:16A2:4DF3:3300:E8E6:118F:A30:4502 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Meno25
وسم: استرجاع
سطر 1:
[[ملف:Kepler laws diagram.svg|thumb|left | تصغير| ملخص تصويري لقوانين كبلر الثلاثة.]]
أثبت العالم الفلكي [[يوهان كبلر]] في 1609 ان النظام الذي وضعه [[كوبرنيكس]] عن مركزية [[الشمس]] هو الوحيد الذي يعكس الحقيقة بدقة.
وعن طريق عمليات حسابية معقدة ومتعددة، وضع كبلر القوانين الثلاثة الهامة فيما يتعلق بحركة [[كوكب|الكواكب]].
وهذه القوانين هي:
# تدور الكواكب حول [[الشمس]] بحركة ليست دائرية ولكن في [[قطع ناقص]] تحتل الشمس إحدى بؤرتيه. والقطع الناقص هو الشكل الذي نحصل عليه إذا قطعنا جسماً اسطوانياً بمنشار مائل.▼
 
▲# تدور الكواكب حول الشمس بحركة ليست دائرية ولكن في قطع ناقص تحتل الشمس إحدى بؤرتيه. والقطع الناقص هو الشكل الذي نحصل عليه إذا قطعنا جسماً اسطوانياً بمنشار مائل.
# تختلف سرعة الكوكب في دورانه حول الشمس تبعاً لبعده عنها، فإذا كان قريباً، فإنه يدور بسرعة أكبر، وكلما زاد بعده كلما قلت سرعته في الدوران، حيث تتساوى مساحة المثلثين المشكلين فيما بين الشمس وقوس المسافات المغطاة من كوكبين في نفس الوقت.
# مربع الفترة المدارية لكوكب يتناسب مع مكعب [[نصف المحور الرئيسي]] لمداره.
 
تجدر الإشارة هنا إلى أن قوانين كبلر مشروعة فقط في حالة جسم عديم الكتلة ووحيد (أي لا يتأثر بجاذبية الكواكب الأخرى) يدور حول الشمس. فيزيائياً من المحال تحقيق هذا الشرط ومع ذلك فإن قوانين كبلر لا تزال ذات أهمية كبرى في تقريب الحسابات.
السطر 12 ⟵ 11:
بعد قرن تقريباً بيّن نيوتن أن قوانين كبلر هي نتاج طبيعي لقانونه (التربيع العكسي) في الجاذبية ضمن الشروط الحدّية التي أشير إليها سابقاً. كذلك عمل نيوتن على توسيع قوانين كبلر بطرق مختلفة منها السماح بحساب المدارات حول أجرام سماوية أخرى. كان قد أوضح أيضاً الأسباب التي جعلت من النظام الشمسي نموذجاً أقرب ما يكون إلى القانون المثالي ليستعملها كبلر في قوانينه.<ref name=smith-sep>See also G E Smith, [http://plato.stanford.edu/archives/win2008/entries/newton-principia/ "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica"], especially the section [http://plato.stanford.edu/archives/win2008/entries/newton-principia/#HisConPri ''Historical context...''] in ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'' (Winter 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.). {{Webarchive|url=http://web.archive.org/web/20170713094347/https://plato.stanford.edu/archives/win2008/entries/newton-principia/ |date=13 يوليو 2017}}</ref>
 
يستغرق الكوكب [[عطارد]] مثلاً 88 يوماً والأرضو[[الأرض]] 365 في مدارهما مرة واحدة حول الشمس، وإذا ضرب كلا الرقمين بنفسه للحصول على مربعهما نحصل على 7744 وبالتالي 133225. ويبلغ الرقم الثاني حوالي 17 أضعاف للأول. ولننتقل الآن إلى نسبة بعدهما عن الشمس. فبُعد عطارد في المتوسط حوالي 36 مليون ميل عن الشمس أما الأرض فتبعد حوالي 93 مليون ميل في المتوسط. واذا ما ضربنا الأرقام بنفسهما مرتين للحصول على القيمة التكعيبية لهما نحصل على 46656 و 804357. وهنا نجد أن النسبة بين هذين الرقمين قريبة جداً من النسبة الأولى أي 17:1.
 
== القانون الأول ==
{{أيضا|قطع ناقص|شذوذ مداري}}
[[ملف:kepler-first-law.svg|تصغير|شكل 2: قانون كبلر واضعاً الشمس في بؤرة مدار القطع الناقص.]]
:"'''[[مدار]] كل [[كوكب]] عبارة عن [[قطع ناقص]] تقع الشمس في إحدى [[بؤرة (هندسة رياضية)|بؤرتيه]].'''"
 
يمثل القطع الناقص نموذجاً معيناً من الأشكال الهندسية التي تنتج عن دائرة مطالة، كما في الشكل، يلاحظ أن الشمس وإن كانت لا تقع في المركز فهي واقعة على أحد البؤرتين، البؤرة الأخرى تم رسمها بنقطة خفيفة ولا تأثير فيزيائي لها في حقيقة الأمر.
 
إن مقدار إطالة ذلك القطع الناقص أو الإهليج مقارنة بالدائرة المثالية يعرف [[شذوذ مداري|بشذوذه]]; وهو معامل يتغير من 0 في حالة الدائرة إلى 1 في حالة تم شدّ الدائرة من طرفين إلى أن أصبحت خطاً مستقيماً.
 
كان كبلر قد عرف أن مقدار الشذوذ في الزهرة 0.007 وعطارد 0.2.
[[ملف:Ellipse latus rectum.PNG|تصغير|250بك |شكل 4: نظام إحداثيات مركزية الشمس ''(r, θ)'' لقطع ناقص. من المعطيات أيضا: نصف المحور الأكبر ''a''، نصف المحور الأصغر ''b'' ونصف الجانب المستقيم''p''; مركز القطع الناقص وبؤرتيه تم تعليمها بنقاط كبيرة. عند θ = 0°, ''r = r<sub>min</sub>'' وعند θ = 180°, ''r = r<sub>max</sub>''.]]
 
بالرموز، يمكن تمثيل القطع الناقص في [[الإحداثيات القطبية]] بالصورة:
 
:<math>r=\frac{p}{1+\varepsilon\, \cos\theta},</math>
حيث (''r'',&nbsp;''θ'') هي الإحداثي القطبي (من البؤرة) للقطع الناقص، ''p'' [[نصف الجانب المستقيم،المستقيم]]، وεو''ε'' [[التخالف المركزي]] للقطع الناقص.▼
 
بالنسبة لكوكب يدور حول الشمس، تعتبر ''r'' هي المسافة من الشمس إلى الكوكب وθو''θ'' هي الزاوية ورأسها عند الشمس نسبة للموقع الأقرب من الكوكب إلى الشمس.▼
▲حيث (r,&nbsp;θ) هي الإحداثي القطبي (من البؤرة) للقطع الناقص، p نصف الجانب المستقيم، وε التخالف المركزي للقطع الناقص.
 
▲بالنسبة لكوكب يدور حول الشمس، تعتبر r هي المسافة من الشمس إلى الكوكب وθ هي الزاوية ورأسها عند الشمس نسبة للموقع الأقرب من الكوكب إلى الشمس.
 
عند θ = 0°، الحضيض، تكون المسافة في أدنى قيمة لها.▼
 
▲عند ''θ'' = 0°، الحضيض،[[الحضيض]]، تكون المسافة في أدنى قيمة لها.
:<math>r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\varepsilon}.</math>
 
عند ''θ'' == 90° وعند ''θ'' == 270° تكون المسافة <math>\, p.</math>
 
عند θ = 180°، القبا، تكون المسافة أبعد مايمكن. ▼
 
▲عند ''θ'' = 180°، القبا،[[القبا]]، تكون المسافة أبعد مايمكن.
:<math>r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\varepsilon}.</math>
[[نصف المحور الأكبر]] ''a'' هو [[المتوسط الحسابي]] بين rmin''r''<sub>min</sub> وrmaxو''r''<sub>max</sub>:
 
:<math>\,r_\max - a=a-r_\min</math>
:وبالتالي
:<math>a=\frac{p}{1-\varepsilon^2}.</math>
 
[[نصف المحور الأصغر]] ''b'' والمتوسطو[[المتوسط الهندسي]] بين rmin''r''<sub>min</sub> وrmaxو''r''<sub>max</sub>:
 
:<math>\frac{r_\max} b =\frac b{r_\min}</math>
:وبالتالي
:<math>b=\frac p{\sqrt{1-\varepsilon^2}}.</math>
 
[[نصف الجانب المستقيم]] ''p'' هو [[المتوسط التوافقي]] بين rmin''r''<sub>min</sub> وrmaxو''r''<sub>max</sub>:
 
:<math>\frac{1}{r_\min}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{r_\max}.</math>
 
[[اختلاف مركزي (رياضيات)|الاختلاف المركزي]] ''ε'' هي [[معامل التباين]] بين rmin''r''<sub>min</sub> وrmaxو''r''<sub>max</sub>:
 
:<math>\varepsilon=\frac{r_\mathrm{max}-r_\mathrm{min}}{r_\mathrm{max}+r_\mathrm{min}}.</math>
 
[[مساحة]] القطع الناقص هي
 
:<math>A=\pi a b\,.</math>
الحالة الخاصة للدائرة ''ε'' == 0, ينتج عنها ''r'' = ''p'' = rmin''r''<sub>min</sub> = rmax''r''<sub>max</sub> = ''a'' = ''b'' وAو''A'' == π r2''r''<sup>2</sup>.▼
 
▲الحالة الخاصة للدائرة ε == 0, ينتج عنها r = p = rmin = rmax = a = b وA == π r2.
 
== القانون الثاني ==
[[ملف:kepler-second-law.gif||تصغير|شكل 3: توضيح قانون كبلر الثاني: يتحرك الكوكب أسرع بالقرب من الشمس، بحيث تكون المساحة المغطاة نفسها خلال زمن ما كتلك للمسافات الطويلة، حيث يتحرك الكوكب ببطء. السهم الأخضر يوضح سرعة الكوكب، والوردي يوضح القوة المبذولة على الكوكب.]]
 
:"'''[[خط مستقيم (رياضيات)|الخط]] الواصل بين كوكب والشمس يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية.'''"<ref name="Wolfram2nd">Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr.<ref>{{مرجع كتاب|المؤلف1=Victor Guillemin|المؤلف2=Shlomo Sternberg|العنوان=Variations on a Theme by Kepler|المسار=https://books.google.com/books?id=3NXFth0gDQgC&pg=PR5|date=2006|الناشر=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-4184-6|الصفحة=5}}</ref><ref>{{مرجع كتاب|المؤلف=Wilbur Applebaum|العنوان=Encyclopedia of the Scientific Revolution: From Copernicus to Newton|المسار=https://books.google.com/books?id=k43Q9RHuGXgC&pg=PT603|date=13 June 2000|الناشر=[[Routledge]]|isbn=978-1-135-58255-5|الصفحة=603}}</ref><ref>{{مرجع ويب|المسار=http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html|العنوان=EQUATION OF TIME – PROBLEM IN ASTRONOMY|الأخير=MÜLLER|الأول=M|التاريخ=1995|الناشر=Acta Physica Polonica A|تاريخ الوصول=23 February 2013| مسار الأرشيف = http://web.archive.org/web/20171114220408/http://info.ifpan.edu.pl:80/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html | تاريخ الأرشيف = 14 نوفمبر 2017}}</ref> "[http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/ Kepler's Second Law]", ''[[Wolfram Demonstrations Project]]''. Retrieved December 27, 2009.<nowiki></ref></nowiki>
 
لفهم القانون الثاني، يمكننا تخيل كوكب يستغرق يوماً للانتقال من نقطة معينة إلى نقطة اخرى وليكن من ''A'' إلى نقطة B،''B''، الخطوط من الشمس إلى النقاط ''A'' وB،و''B''، تشكل مع مدار الكوكب مساحة مثلثية. نفس المساحة سيتم تغطيتها كل يوم بغض النظر عن موقع الكوكب على المسار الإهليلجي، لما كان القانون الأول ينص على أن الكوكب يتبع مسار قطع ناقص، فمن المنطقي أن يكون الكوكب على مسافات مختلفة من الشمس عند مناطق مختلفة في ذلك المدار، لذلك يلزم على الكوكب أن يتحرك على نحو أسرع كلما اقترب من الشمس حتى يقطع نفس المساحة التي قطعها في المناطق الاخرى الأبعد عن الشمس بشكل متساوي.
 
قانون كبلر الثاني يكافئ الحقيقة القائلة بأن القوة العمودية على نصف القطر هي صفر. تتناسب [[السرعة المساحية]] مع [[العزم الزاوي|كمية التحرك الزاوي،الزاوي]]، ولنفس السبب يمكن اعتبار قانون كبلر الثاني أيضاً نصاً غير مباشر لمبدأ حفظ [[الزخم الزاوي]].
رياضياتياً:
 
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2 \dot\theta\right) = 0,</math>
 
حيث <math>\tfrac{1}{2}r^2 \dot\theta</math> هي "[[السرعة المساحية]]".
 
يعرف هذا القانون أيضاً بقانون المساحات المتساوية. كما يمكن تطبيقه على مقذوفات القطع المكافئ والقطع الزائد.
 
== القانون الثالث ==
:'''مربع الفترة المدارية لكوكب يتناسب مع مكعب نصف المحور الرئيسي لمداره.'''".
 
بصورة رياضية:
 
<math>T^2 \propto a^3</math>
 
حيث T هو الفترة المدارية و a هو [[نصف المحور الرئيسي]] من هنا التعبير <math>\frac{T^2}{a^3}</math> متساوية لكل كوكب يدور في [[المجموعة الشمسية]] حيث يقاس T بالسنوات الارضية و a [[وحدة فلكية|بالوحدات الفلكية]], قيمة هذا التعبير هي 1 لكل كوكب يدور في المجموعة الشمسية.
 
في [[حركة دائرية]] [[تسارع زاوي|التسارع الزاوي]] (باتجاه المركز) متناسبة مع <math>\ r \cdot \Tau^{-2}</math> حيث r هونصفهو[[نصف قطر|نصف القطر]] اذا طبقنا القانون الثالث على الحركة الدائرية و هي حالة خاصة من الحركة الاهليجية من الممكن ان نستخلص ان تسارع الجسم يتناسب مع <math>\ r \cdot r^{-3}=r^{-2}</math>، ما يعزز قانون نيوتن للجاذبية، الذي حسبه قوة الجذب بين كل جسمين مساوية لـ <math>\ \frac{GMm}{r^2}</math>
 
المعادلة العامة المتعلقة بالنسبة المعطاة والتي لم يكن كبلر يعرفها: <math>\ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\cdot a^3</math>.
 
عندما نتكلم عن جسمين اثنين وكتلة احدهما لا يمكن تجاهلها امام كتلة الثاني يجب ان ناخذ بعين الاعتبار حركة الاجسام حول مركز الثقل، وليس احدهما حول الاخر كما في انظمة مثل النظام الشمسي. في هذا الوضع (كما في انظمة [[نجم ثنائي|ثنائية النجوم]])، المعادلة الكاملة هي:
 
<math>\left({\frac{T}{2\pi}}\right)^2 = {a^3 \over G (M+m)}</math>
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/قوانين_كبلر_للحركة_الكوكبية»