توزيع بواسون: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [مراجعة غير مفحوصة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط بوت:صيانة V3.1، أضاف وسم مصدر |
|||
سطر 1:
{{مصدر|تاريخ=ديسمبر 2018}}
{{وصلات قليلة|تاريخ=أغسطس 2017}}
{{مقالة غير مراجعة|تاريخ=ديسمبر 2014}}
{{يتيمة|تاريخ=ديسمبر 2014}}
== توزيع بوسون ==
هو توزيع احتمالي منفصل يستخدم عند حدوث عدد من الحوادث ضمن وقت محدد وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث. وسميت بوسون نسبة إلى العالم Poisson الذي اكتشفها.ونقول أن المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:
::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}; x=0,1,...</math>
حيث أن <math>0<\lambda<\infty</math> هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت, ونعرف المتغير العشوائي <math>X\backsim{Poi(\lambda)}</math>
ولكي نتحقق أن (f(x [[دالة]] احتمالية
:<math>f(x)=\sum^{\infty}_{x=0} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0} \frac{\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1</math>
وتوزيع بوسون له تطبيقات كثيرة في حياتنا:
- يصف الظواهر النادرة, مثل: عدد الزلازل السنوية, عدد الحرائق, عدد الحوادث الأسبوعية.
- يصف كثير من الظواهر التي تحدث في الزمن أو الفراغ, مثل: عدد الجزئيات, عدد مكالمات الهاتف التي تحدث خلال زمن معين, عدد السلع التالفة التي ينتجها مصنع ما في فترة معينة.
== المنوال ==
::<math> \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^(x+1)}}{(x+1)!} \frac{x!}{e^{-\lambda}{\lambda^x}}=\frac{\lambda}{X+1}</math>
إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت <math>X<\lambda-1</math> وأنها متناقصة إذا كانت <math>X>\lambda-1</math> أما إذا كانت <math>X=\lambda-1</math> فذلك يعني <math>f(\lambda)=f(\lambda-1)</math> وعلى ذلك إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند <math>X=\lambda, X=\lambda-1 </math> أما إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد <math>\lambda-1</math>.
== دالة التوزيع التراكمية==
::<math> F(x)=P(X\leq x)=\sum^{\infty}_{S=0} f(S)</math>
== متوسط التوزيع ==
::<math> \mu=E(x)=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!} </math>
وحيث أن
::<math> \mu=E(x)= \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!}=\sum^{\infty}_{Y=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^Y}}{Y!}=1 </math>
إذن <math>\lambda = \mu</math>
== تباين التوزيع ==
لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة
::<math>E[X(X-1)]=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{(x-1)e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda^2 \sum^{\infty}_{x=2} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-2)}}}{(x-2)!}=\lambda^2 </math>
أي أن
::<math> E(X^2)-E(X)=\lambda^2</math>
:::<math>\therefore E(X^2)=\lambda^2+\lambda</math>
إذن
::<math> \sigma^2=E(X^2)-\mu^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda</math>
ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = <math>\lambda</math>
::<math>M_{X}(t)=E(e^{xt})\sum^{\infty}_{x=0}e^{xt}\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}</math>
::::<math>=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0}\frac{(\lambda e^{t})^x}{x!}</math>
:::<math>=e^{-\lambda} e^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}</math>
حيث أن
::<math> M'(t)=\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>
::<math> M'(t)=\lambda^2 e^{2t} \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}+\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>
::<math>\mu=\mu'_1=M'(0)=\lambda</math>
::<math>\mu'_2=M''(0)=\lambda^2 +\lambda</math>
::<math>\sigma^2=\mu'_2-\mu^2=\lambda</math>
مثال:
إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟
الحل:
متوسط عدد الحوادث <math>3=\lambda=</math>
نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن <math> X\backsim{Poi(3)}</math>
::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-3}{3^x}}{x!}; x=0,1,...</math>
:::<math> f(2)=P(X=2)=\frac{e^{-3}{3^2}}{2!}=0.2240</math>
== المراجع ==
{{مراجع|30em}}
* الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد ، نظرية الاحتمالات
* Prasanna Sahoo, PROBABILITYAND MATHEMATICAL STATISTICS
{{شريط بوابات|رياضيات}}
[[تصنيف:دوال]]
| |||