جبر بول: الفرق بين النسختين

تم إضافة 97 بايت ، ‏ قبل سنتين
ط
استبدل تركيب الرياضيات المقطعي حسب هنا
ط (استبدل تركيب الرياضيات المقطعي حسب هنا)
يعرف قانون الإبدال لعملية الانفصال كما يلي:
 
<math>A \orlor B = B \orlor A</math>
 
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
يعرف قانون الإبدال لعملية الاتصال كما يلي:
 
<math>A \andland B = B \andland A</math>
 
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
يعرف قانون الدمج لعملية الانفصال كما يلي:
 
<math>A \orlor (B \orlor C) = (A \orlor B) \orlor C</math>
 
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
يعرف قانون الدمج لعملية الاتصال كما يلي:
 
<math>A \andland (B \andland C) = (A \andland B) \andland C</math>
 
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
يعرف قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:
 
<math>A \andland (B \orlor C) = (A \andland B) \orlor (A \andland C)</math>
 
وهو يشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:
يعرف قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:
 
<math>A \orlor (B \andland C) = (A \orlor B) \andland (A \orlor C)</math>
 
وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:
* بإيجاد جدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يمين المتطابقة، وجدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يسارها، ومطابقة الجدولين.
* باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال الموضح أعلاه. فبالنظر إلى الطرف الأيمن للمتطابقة، نجد أنه يمكننا توزيع <math>(A \orlor B)</math> على <math>(A \orlor C)</math> وذلك باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال:
 
<math>R.H.S = (A \orlor B) \andland (A \orlor C) = ((A \orlor B) \andland A) \orlor ((A \orlor B) \andland C)</math>
 
بعد ذلك يمكن توزيع <math>A</math> على <math>(A \orlor B)</math> وتوزيع <math>C</math> على <math>(A \orlor B)</math> باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:
 
<math>((A \orlor B) \andland A) \orlor ((A \orlor B) \andland C) = (A \andland A) \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C) \orlor (B \andland C)</math>
 
ونلاحظ أن قيمة <math>(A \andland A)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن قيمة <math>(A \andland A)</math> تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال <math>(A \andland A)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة.
 
<math>(A \andland A) \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C) \orlor (B \andland C) = A \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C) \orlor (B \andland C)</math>
 
نلاحظ أيضاً أن قيمة <math>A \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي <math>B</math> و<math>C</math>. وبهذا يمكن استبدال <math>A \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة:
 
<math>A \orlor (B \andland A) \orlor (A \andland C) \orlor (B \andland C) = A \orlor (B \andland C) = L.H.S</math>
 
== قواعد الجبر البولياني ==
 
=== قاعدة المحايد لعملية الانفصال ===
<math>A \orlor 0 = A</math>
 
=== قاعدة المحايد لعملية الاتصال ===
<math>A \andland 1 = A</math>
 
=== قاعدة المدمر لعملية الانفصال ===
<math>A \orlor 1 = 1</math>
 
=== قاعدة المدمر لعملية الاتصال ===
<math>A \andland 0 = 0</math>
 
=== قاعدة عملية الانفصال لنفس المتغير ===
<math>A \orlor A = A</math>
 
=== قاعدة عملية الاتصال لنفس المتغير ===
<math>A \andland A = A</math>
 
=== قاعدة عملية الانفصال للمتغير مع متممه ===
<math>A \orlor \neg{A} = 1</math>
 
=== قاعدة عملية الاتصال للمتغير مع متممه ===
<math>A \andland \neg{A} = 0</math>
 
=== قاعدة المتمم للمتمم ===
 
=== قاعدة المص الأولى ===
<math>A \andland (A \orlor B) = A</math>
 
=== قاعدة المص الثانية ===
<math>A \orlor (A \andland B) = A</math>
 
=== قاعدة انفصال متغير عن اتصال متممه مع متغير آخر ===
<math>A \orlor (\neg A \andland B) = A \orlor B</math>
 
== نظريتا دي-مورغان ==
وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل '''ضرب''' (اتصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل '''جمع''' (انفصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:
 
<math>\neg(A \andland B) = \neg A \orlor \neg B</math>
 
=== نظرية المتمم لعملية الانفصال ===
وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل '''جمع''' (انفصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل '''ضرب''' (اتصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:
 
<math>\neg(A \orlor B) = \neg A \andland \neg B</math>
 
==انظر أيضا==
78

تعديل