|
== البرهان ==
[[ملف:ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png|تصغير]]
لتكن <math>S</math> هي مساحة الرباعي جانبه. <math>S</math> هي مجموع مساحتي المثلثين <math>(ADB)</math> و <math>(BDC)</math> إذن
<math>S= \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C</math>
بما أن <math>(ABCD)</math> رباعي دائري فإن {{math|∠''DAB'' {{=}} 180° − ∠''DCB''}} و منه فإن {{math|sin ''A'' {{=}} sin ''C''}}، و منه: <math>S = \frac{1}{2}\sin A (ab + cd)</math>.
إذن <math>4S^2 = (ab+ cd)^2 - \cos^2 A (ab+ cd)^2 \,</math>
بتطبيق [[مبرهنة الكاشي|قانون جيب التمام]] نستنتج أن:
<math>a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C \,</math>
نعوض {{math|cos ''C'' {{=}} −cos ''A''}}، لدينا <math>2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \,</math>
نعوض في متساوية المساحة،
<math>16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 \,</math>
:<math>=(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 +d^2) \,</math>
:<math>= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,</math>
:<math>= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d). \,</math>
نأخذ <math>s = \frac{a+b+c+d}{2}</math>، فنجد
<math>16S^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) \,</math>
<math>.S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
== انظر أيضاً ==
| 