دائرة: الفرق بين النسختين

[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
لا ملخص تعديل
سطر 117:
|-
|[[قاطع (رياضيات)|'''مستقيم قاطع''']]
|هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين. عند كون المسافة<ref name=":0" group="ملاحظة">المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعرف بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيمالمستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما <math>P</math>ومستقيم ما <math>\ell</math> بـ<math>dist(P, \ell)</math>.</ref> بين المركز والمستقيم أصغر من نصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم تقاطعان مُختلفان ويُسمّى حينها '''مُستقيماً قاطعاً للدائرة'''. هناك حالة خاصّة من هذا المُستقيم عند مروره بالمركز، ويُسمّى حينها '''مُستقيماً مُنصّفَاً'''.<ref name=":3" />
|
|
سطر 123:
|-
|'''[[مماس|مستقيم ماس]]'''
|هو مستقيم يمس الدائرة عند نقطة وحيدة. عند كون المسافة<ref name=":0" group="ملاحظة" /> بين المركز والمستقيم مُساوية لنصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم نقطة تماس مشتركة واحدة ويُسمّى حينها '''مماسّاً للدائرة'''. المماس عند نقطة التماس يكون عموديّاً بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.<ref name=":3" />
|
|
|-
|'''[[مستقيم مار]]'''
|هو مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. عند كون المسافة<ref name=":0" group="ملاحظة" /> بين المركز والمستقيم أقل من نصف القطر، فإنه لا يكون للدائرة والخط المستقيم أي نُقاط مشتركة. وفي هذه الحالة يُسمّى '''بالمستقيم المار''' أو '''المستقيم العابر'''.<ref name=":3" />
|
|}
سطر 323:
إذا كانت <math>A, B</math>نقطتين مختلفتين على دائرة <math>C(O,r)</math>فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر <math>\widehat{AB}</math>: وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية <math>\angle AOB</math> الداخلية، والقوس الأكبر <math>\widehat{AB}</math>وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان <math>A, B</math>هما طرفا كل من القوس <math>\widehat{AB}</math>والوتر <math>\overline{AB}</math>وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس <math>\widehat{AB}</math> يواجه الوتر <math>\overline{AB}</math>. لاحظ أنَّ إذا كانت <math>A, B</math>نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.<ref name=":3" />
 
يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات <math>360^\circ</math>. من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.<ref name=":3" />
 
مبرهنة: أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.<ref name=":3" />
 
البرهان:
 
بفرض أن الوترين <math>\overline{AB}, \overline{CD}</math>لهما الطول نفسه في الدائرة <math>C(O,r)</math>، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: <math>OA=OB=OC=OD=r</math>. وعلى ذلك <math>\triangle OAB \cong \triangle OCD</math>، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.<ref name=":3" />
 
=== الأوتار والمستقيمات ===
 
==== الأوتار ====
 
* طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن <math>2r</math>.<ref name=":3" />
 
البرهان:
 
ليكن <math>\overline{AB}</math>وتراً في الدائرة <math>C(O,r)</math>. من متباينة المثلث: <math>OB + OC > AB</math>لكن <math>OA = OB = r</math>إذن <math>AB < 2r</math>وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون <math>AB</math>قطراً في الدائرة.<ref name=":3" /><ref group="ملاحظة">لاحظ أن طول قطر الدائرة <math>C(O,r)</math>ثابت ويساوي <math>2r</math>وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.</ref>
 
* العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.<ref name=":3" />
* يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.<ref name=":3" />
* الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.<ref name=":3" />
 
==== المستقيمات المماسة ====