دائرة: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
لا ملخص تعديل |
|||
سطر 46:
|-
|'''نقطة داخلية'''
|نقاط الدائرة الداخلية
|<sub>'''ن'''</sub>
|<math>P</math><ref name=":1" group="ملاحظة">ترميز النقطة الواحدة.</ref> أو <math>Int ~ C(O, r)</math><ref group="ملاحظة"><math>Int ~ C(O,r)</math>هو ترميز لمجموعة النقاط الداخلية. و<math>Int</math>هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: <math>Interior</math>والتي تعني داخليّ.</ref>
سطر 52:
|-
|'''نقطة مُحيطيَّة'''
|وهي أي نقطة تنتمي إلى <math>C(O, r)</math>كما سبق تعريفها.<ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref group="ملاحظة">أو بمعنى آخر: عند كون المسافة بين المركز والنقطة مساوية لنصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة.<
|
|<math>P</math><ref name=":1" group="ملاحظة" /> أو <math>C(O, r)</math>
|-
|'''نقطة خارجيَّة'''
|نقاط الدائرة الخارجية: مجموعة نقاط <math>Q</math> في المستوى <math>E</math> بحيث <math>\overline {OQ}>r</math><math>
|
|<math>P</math><ref name=":1" group="ملاحظة" /> أو <math>Ext ~ C(O, r)</math><ref group="ملاحظة"><math>Ext ~ C(O,r)</math>هو ترميز لمجموعة النقاط الخارجية. و<math>Ext</math>هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: <math>External</math>والتي تعني خارجيّ.</ref>
|-
|'''نقطتين متقابلتين قطريَّاً'''
|هما نقطتي طرفي القطر، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:<ref name=":3" /><math>\left\{\mathrm{A, A'} \in C(O,r) ~ : ~ \overline{\mathrm{AB}} = 2r \right\}</math>
|
|
|
|}
=== المصطلحات الرئيسة ===
السطر 71 ⟵ 77:
|-
|'''المحيط'''
|طول مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.<ref name=":1" />
|'''مح'''
|[[ط (رياضيات)|'''<math>C</math>''']]
السطر 86 ⟵ 92:
|'''<math>O</math>''' أو '''<math>M</math>'''
|-
|'''[[نصف قطر
|[[قطعة مستقيمة]] تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.<ref name=":1" /> يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة <math>d = 2r</math> أو <math>r = \frac{d}{2}</math>.<ref name=":4" /><ref name=":3" />
|'''نق'''
|'''<math>r</math>'''
|-
|[[قطر (هندسة)|'''
|قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين واقعتين على المحيط مروراً بالمركز. والقطر هو أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين من على الدائرة ويُعتبر حالة خاصة من الوتر، القطر يقسم الدائرة إلى قسمين متطابقين.<ref group="ملاحظة">القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو "2 نق" حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.</ref><ref name=":1" /><ref name=":3" />
|'''ق'''
|'''<math>d</math>'''
|-
|[[وتر دائرة|'''
|قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين
|
|}
السطر 126 ⟵ 132:
|}
=== الزوايا ===
تُصنَّف الزوايا في الدائرة حسب موقع رأسها بالنسبة للدائرة:
{| class="wikitable"
!التصنيف
السطر 133 ⟵ 140:
!صورة
|-
|[[زاوية
|زاوية محصورة بين نصفي قطرين.<ref name=":3" />
|الزاوية المحصورة بين وترين متلاقيين على المحيط▼
|
|<math>v</math><ref name=":1" />▼
|
| rowspan="3" |[[ملف:Inscribed_angle_theorem.svg|لاإطار|140x140بك]]▼
|-
|[[زاوية
|
|
▲|<math>v</math><ref name=":1" />
|-
|[[زاوية مماسية|'''
|
|
|
السطر 158 ⟵ 166:
!صورة
|-
|[[قوس (هندسة)|'''
|جزء متّصل من محيط الدائرة.
| colspan="2" |<big><sup>'''︵'''</sup></big>
السطر 168 ⟵ 176:
|
|-
|[[قطاع دائري|'''
|المساحة المنحصرة بين نصفي قطر والقوس الواصل بينهما.
|
|
|-
|'''[[القطعة|قطعة]]'''
|المساحة المنحصرة بين وتر والقوس الذي يحصره.
|
|
|-
|[[قرص (رياضيات)|'''
|منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:<ref name=":3" /><math>C(O,r) \cup Int ~ C(O,r) = \left\{\mathrm{P} \in E ~ : ~ \overline{\mathrm{OP}} \le r \right\}</math>
|
|
|-
|'''[[نصف القرص|نصف قرص]]'''
|المنطقة المحصورة بين القطر والقوس الممتد من طرفيه.<ref group="ملاحظة">نصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، ويُعرف أيضاً بأنه "أكبر قطعة في الدائرة".</ref>
|
السطر 197 ⟵ 205:
!صورة
|-
|[[حلقة (رياضيات)|'''
|شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.
|
السطر 203 ⟵ 211:
| rowspan="2" |
|-
|'''[[العدسة (دائرة)|
|تقاطع قرصين.
|
السطر 309 ⟵ 317:
=== الزّوايا والأقواس ===
==== الزاوية المركزية ====
==== القوس ====
إذا كانت <math>A, B</math>نقطتين مختلفتين على دائرة <math>C(O,r)</math>فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر <math>\widehat{AB}</math>: وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية <math>\angle AOB</math> الداخلية، والقوس الأكبر <math>\widehat{AB}</math>وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان <math>A, B</math>هما طرفا كل من القوس <math>\widehat{AB}</math>والوتر <math>\overline{AB}</math>وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس <math>\widehat{AB}</math> يواجه الوتر <math>\overline{AB}</math>. لاحظ أنَّ إذا كانت <math>A, B</math>نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.<ref name=":3" />
يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات <math>360^\circ</math>. من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.
مبرهنة: أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.
البرهان:
بفرض أن الوترين <math>\overline{AB}, \overline{CD}</math>لهما الطول نفسه في الدائرة <math>C(O,r)</math>، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: <math>OA=OB=OC=OD=r</math>. وعلى ذلك <math>\triangle OAB \cong \triangle OCD</math>، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.
=== الأوتار والمستقيمات ===
==== الأوتار ====
طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن <math>2r</math>.<ref name=":3" />
البرهان:
ليكن <math>\overline{AB}</math>وتراً في الدائرة <math>C(O,r)</math>. من متباينة المثلث: <math>OB + OC > AB</math>لكن <math>OA = OB = r</math>إذن <math>AB < 2r</math>وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون <math>AB</math>قطراً في الدائرة.<ref name=":3" /><ref group="ملاحظة">لاحظ أن طول قطر الدائرة <math>C(O,r)</math>ثابت ويساوي <math>2r</math>وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.</ref>
==== المستقيمات المماسة ====
السطر 327 ⟵ 355:
=== التطابق ===
تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما.<ref name=":3" />
=== النقاط ===
==== النقاط الدَّاخليَّة ====
مجموعة النقاط الداخلية [[مجموعة محدبة]].<ref name=":3" />
البرهان:
لتكن <math>A, B \in Int ~ C(O, r)</math>ولتكن <math>P \in \overline{\mathrm{AB}}</math> من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن <math>OA, OB < r</math>، ولأن <math>P</math>على القطعة المستقيمة <math>\overline{\mathrm{AB}}</math>فهذا يعني أن إحدى الزاويتين <math>\angle OPA, \angle OPB</math>غير منفرجة<ref group="ملاحظة">أي: إما أن تكون حادة أو قائمة.</ref>. بفرض - [[دون فقد العمومية|دون فقد العموميَّة]] - أنَّ <math>\angle OPA \le 90^\circ</math>، بتطبيق [[متباينة المثلث]] في المثلث <math>\triangle OPB</math>: <math>OP < OB < r</math>إذن <math>P \in Int ~ C(O,r)</math>.<ref name=":3" />
==التمثيل والرّسم بالمعادلات==
| |||