ويكيبيديا

مرونة خطية: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً
[مراجعة غير مفحوصة][مراجعة غير مفحوصة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
JarBot (نقاش | مساهمات)
17٬592٬533 edits
ط بوت :عنونة مرجع غير معنون
Hero9000 (نقاش | مساهمات)
16٬175 edits
لا ملخص تعديل
وسم: تعديلات طويلة
سطر 1:
????? ?????? ???????? ???? ??? ???? ???? ??? ??????? ??? ??? ?? ?? ??????? ???? ???? ????? ?????? ??? ???? ?? ??? ????? ?????? ?????? ???? ????? ??? ??? ????? ????? ??????? ????????[76] ????? ????? ????? ?? ??????[77][78] ????????? ??????? ?? ???????????[78] ????? ????? ??????? ????? ????? ??????? ??????? ??????? ????? ??????? ???????? ??? ???? ????? ???? ?????? ???????? ??? ???? ??????? ??? ???? ??? ???? ??? ??? ????? ???? ??????? ???????? ???? ?????? ????? ??????? ???????? ??? ?????? ???? ??????? ?? ???.[76] ???? ??????? ??? ???? ?????? ??????? ????? ??????? ??? ?????? ????????? ????????? ????? ??????? ??? ?????? ???? ?????? ???????. ??? ??? ?? ??? ?? ?????? ????????? ?? ???????????? ????????? ??? ??? ????? ??? ?????? ?? ??????? ??? ????? ?? ????? ?????? ?????? ??????? ???????? ?? ????? ????? ?????? ??? ?? ???? ??????? ????????? ?????.[79][80]
{{مقالة غير مراجعة|تاريخ=مايو 2009}}
 
?????? ??? ???? ?????? 18 ???? 1869 ?????? ??????? ?????????????? ???? ????? ???????? ??? ????? ??????? ??? ??????? ??????? ????? ????? ??? ??????? ??? ???? ????? ?? ??????? ???? ?? ???? ???? ???? ??? ??? ??? ??? ?????? ??????? ?? ???? ??? ???????? ????? ???????? ???? ???? ??????? ??????? ????? ???? ????? ?????? ??? ??? 1881 ???? ??? ????? ??????? ??????? ??? ????? ???????? ??????? ?????? ???????? ??????? ??????? ???????? ?????????? ??? ???.[81]
'''مرونة خطية''' (Linear elasticity) هي دراسة [[رياضيات|رياضية]] لكيفية تشوه (Deform) الأجسام [[صلب|الصلبة]] وتعرضها لاجهادات داخلية (Internally Stressed) نتيجة حمولات معينة. تعتمد [[المرونة]] الخطية على [[الفرضية الاستمرارية]] (Continuum Hypothesis) وتطبق عيانياً أو [[مجهر|مجهرياً]](بعض الأحيان).و المرونة الخطية هي تبسيط [[نظرية|للنظرية]] الأكثر عموماً وهي [[نظرية المرونة الغير خطية]] (Nonlinear Theory of Elasticity) وهي فرع من [[ميكانيكا استمرارية|الميكانيكا الاستمرارية]] (Continuum Mechanics).
 
????? ?? ?? ??????? ?????????? ??? ??? ??????? ??????? ???? ??? ???????? ?? ??????? ???? ???? (1914-1917) ??? ??? ??????? ??? ??? ????? ??? ???????? ??? ???? ??????? ???? ???? ?????? ??????? ??? ????? ???????? ?? 1914 ?? ????? ????? ???????? ??????. ??? ?????? ???? ??????? ??????? ?????????? ??? ???? ?? ???? ????? ?? ???? ???? ????? ???? ??? ?????? ??? ??? ??? 1922 ????? ???? ??? ??? ??????? ???????.[82][83]
الافتراضات الأساسية "الخطية (linearizing)" للمرونة الخطية هي:
???????
* انفعالات (تشوهات) صغيرة.
* علاقة خطية بين مركبات الاجهاد والانفعال.
* المرونة الخطية لا تستخدم إلا في الاجهادات التي لا تصل لحد الخضوع.
و هذه الافتراضات معقولة بالنسبة للعديد من الموارد الهندسية والتصميم الهندسي. لذلك أُستخدمت بشكل واسع في قواعد التحليل أو هيكليته والتصميم الهندسي ,و كثير من الأحيان تستخدم للمساعدة في [[نظرية العناصر المحدودة|تحليل العناصر المحدودة]].
 
Crystal Clear app kdict.png ????? ?????: ??????? ???????
== الصيغة الرياضية ==
المرونة الخطية تقوم على أساس ثلاث [[معادلة|معادلات]] [[تينسور|تنسور]] تفاضلية جزئية لتوازن [[زخم خطي|الزخم الخطي]] وست علاقات للانفعال - الإزاحة المتناهية الصغر. وإضافة إلى مجموعة المعادلات التفاضلية هناك مجموعة العلاقات الأساسية [[جبر|الجبرية]] الخطية.
 
????? ?????? ??? ???? ??? ??????? ??? ???? ???? ???? ?????? ?? ???? ??? ???? ?????.
=== نموذج التنسور المباشر ===
في هذا النموذج والذي يكون مستقلا عن عملية اختيار [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات]] تكون المعادلات هي:
* [[معادلات الحركة|معادلة الحركة]] ,و التي تعبر عن [[قوانين نيوتن للحركة|قانون نيوتن الثاني:<ref name="Slau">[[قوانين نيوتن للحركة|Slaughter, W. S., (2002), ''The linearized theory of elasticity'', Birkhauser.]]</ref>]][[:en:Linear_elasticity#cite_note-Slau-1|<span class="mw-reflink-text">[1]</span>]]
 
??? ????? ??? ????? ???? ???? 1919 ??????????? ???? ??????? ????? ???????? ?? ??? ???? ????? ????? ??????? ??????? ??? ??? ??? ??? ? "????? 28 ?????? 1922" ????? ??? ??????? ?? ????? ????? ??????? ???????.[84]
:<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{F} = \rho~\ddot{\mathbf{u}} </math>
??? ??? 1923 ?????? "???? ????????" ???? ???? ????? 1923? ?????? ??? ???? ????? ?? ????? ??? ???????? ??? ??? ??? ????????. ?? ??? ?????? 1936 ???? 20 ???? ??? ??? ?????????? ??????? ??? ?? ??? ???? ??? 8 ?????? 1951 ????? ???? ??????? ????? ??????? ??????? ??????? ??? 1899? ?? ???? ??? ?????? ???????? ???? 3 ???? ??? ???? ??????? ?????? ??? ????? ????? ??? 27 ????? 1952? ?? ????? ???? ?? ????? ?????? ?? 1952 ??? ????? ????? ????? ??????? ??? ?????? ?? ??? ???????? ????? ?????? ???? ???? ?????? ??? ???? ????[85] ?? ????? ????????? ??? 18 ????? 1953.[86][87]
?????????
 
Crystal Clear app kdict.png ?????? ?????: ???? 23 ????? ???? ???? ???? ??? ?????? ???? ???????
* معادلات الانفعال - الإزاحة:
 
Crystal Clear app kdict.png ???? ?????: ??? ?????????? ???? 6 ??????? ??????? ???? ?????
:<math>\boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]\,\!</math>
???? ???? ?????? ????? ???????? ??? ???????.
 
?? 23 ????? 1952 ??? ?????? ???? ???? ????? ?????? ??????? ?????? ??????? ????? ??????? ?????? ????? ??????? ??? ??????? ?? ?????? ???? ?? ??????? �?????? ????????� ???? ????? ????? ????? "???? 23 ?????"?[88][89] ??? ??? 1953 ????? ????????? ??? ?????? ?????? ???? ???? ??? ???? ????????? ????? ????? ???????[90] ?? ???? ???? ??? ?????? ????? ??? ??????? ?? ?????? ?? ????? ??????? ?????? ?? ???????? ???? ??????? ?? ????? ??????? ???????? ??? ????? ????? ??????? ???????? ?? ??? 1958 ????? ??? ?????? ??? ???? ????????? ??????? ??????? ???? ????? ??? 1961? ??? ????? ???? ?????? 1960-1970? ??? ???? ?????? ????? ??????? ?? ????????? ?? ??? ??? ??????.[91][92]
* المعادلات الأساسية.يمثل [[قانون هوك]] سلوك المادة ويربط بين مجاهيل الإجهاد والانفعال. والمعادلة العامة لقانون هوك هي:
 
???? ??????? ?? 5 ????? 1967 ??? ???? ??? ??? ?????? ??????? ?????? ????? ???????? ?????? ??????? ???? ??????� ????? ??? ???? ??? ????????? ??????? ??? ????? ??????? ??? ????? ?????? ??? ??? 1970 ???? ???? ??? ?????? ????? ?? ???? ????? ???? ???? ??????? ???? ??? ?????? ????? ????? ????? ?? ??????? ?????? ??????? ???????.[93][94]
:<math>
??? ????? ?????? ??? ????? ????? ??? ??????
\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon}
\,\!</math>
 
?? 6 ??????? 1973 ?? ???? ??????? ?????? ???? ?????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ?????? ??????? ??? ?????? ??????????? ?? ?? ?? ??? ????? ????? ???????? ??? ?? ??? ???? ??? ?????? ?? ??? ?????? ?? ?????. ???? ????? ??? ?????? ??????? ??????? ?????? ???????? ????? ?????? ??????? ??? ????? ??????? ???????? ??????? ??? ????? ??????? ?????? ?? ??????? ??? 22 ?????? ????? ??? ??? ??????? ??? ????? ?????? ????? ?????? ??????? ?? ???????? ?????? ????????.[95][96]
حيث:
 
?? ??? 1977 ???? ?????? ??????? ???? ??????? ???? ?? ?????? ?????????? ????? ??????? ???? ????? ?????? ?????? ?? ????? ???????[97] ???? ??????? ?????? ???? ??? ????? ???? ?? ??????? ???? ???? ?????? ??????? ?????? ?? ????? ?? 25 ????? 1982 ??? ???? ???? ??????? ????? ????? ??????? ???? ??? ????? ??? ?? ??? ????????? ???? ??????? ??? ????? ?????? ?? ????? ??????? ???? ??? ?????????? ??? ????? ????? ??? ?? ????? ????? ??????? ?? ??? 1979 ??? ??? 1989.[98][99]
* <math>\boldsymbol{\sigma}</math> هو [[موتر الإجهاد لكوشي]]،
* <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> هو تنسور الإنفعال متناهي الصغر (infinitesimal strain tensor),
* <math>\mathbf{u}</math> هو متجه الإزاحة
* <math>\mathsf{C}</math> هو تنسور صلابة المادة (stiffness tensor),
* <math>\mathbf{F}</math> هو قوة الجسم لكل وحدة حجم,
* <math>\rho</math> هو الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),
* <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot(\bullet)</math> هو [[معيار الانحراف]](divergence operator),
* <math>\boldsymbol{\nabla}(\bullet)</math> يمثل [[معيار الميل]] و<math>(\bullet)^T</math> يمثل النقل,
* <math>\ddot{\bullet}</math> يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت(اي [[التسارع]]).
 
?? 6 ??????? 1981? ???? ?????? ?? ?????? ?????? ??????? ??????? ?? ??? ????? ?? ???? ??? ?????? ????? ???? ??????? ???????[100][101] ?? ?????? 1981 ???? ???? ???? ????? ????? ??????? ??? ???????? ???????? ???? ??? ????? ???? ????? ??.[102]
=== نموذج الاحداثيات الديكارتي ===
 
????? ???? ???? ????? ??? ???? ?? 30 ?????? ???? ?????? ??? ?????? ??????? ?? ????????? ???????? ???????? ??? ??? ??????? ??????? ???: ????? ????? ??????? 1986 ???? ????? ?????? (????? ????? ???? ?? ?????? ???????) ?????? ?????? 1997 ????? ???? ?????? ????? ????? ?????? 98 ?? ????? 6 ????? ??????? ??? ????? ?????? ???? 25 ????? 2011 ????? ????? ?? ?? ?????.[102][103][104]
المعادلات هي:
???? 25 ?????
 
Crystal Clear app kdict.png ?????? ?????: ???? 25 ????? ????? 2011 ?? ???
* معادلة الحركة:<ref name="Slau2">Slaughter, W. S., (2002), ''The linearized theory of elasticity'', Birkhauser.</ref>
 
???????? ?? ????? ??????? ??? ???? ??? ?????? ???? ???? ??? ?? ??????? ???? ?????.
:<math>\sigma_{ji,j}+ F_i = \rho \partial_{tt} u_i\,\!</math>
 
???? ???? ??? ????? ???????? ????????? ??? ???? ??????? ???????? ????????? ???????????? ??????? ?????? ???? ?? ??????? ??????? ?????? ???????? ??? ??????? ???????? ?? ?????????? ?????????? 2010.[105] ???? ???? ??????? ????? ???? ???? ???????? ?? ???? ??? ??????? ?? ????? ?????? ????? ??? 25 ????? 2011 (??? ??? ??????) ?????? ???? ???????? ????? ????? ????? ?????????? ???????? ??? ??? ??? 28 ????? ????? ??? �???? ?????� ????? ???? ??? ?????? ?? ??????? ???????? ????? ???????? ?????? ???????? ???? ??? ???? ???? ??? ??????? ??? ??? ?? ?? ??????? ???? ???? ????? ?????? ??? ???? ?? ??? ????? ?????? ?????? ???? ????? ??? ??? ????? ????? ??????? ????????[76] ????? ????? ????? ?? ??????[77][78] ????????? ??????? ?? ???????????[78] ????? ????? ??????? ????? ????? ??????? ??????? ??????? ????? ??????? ???????? ??? ???? ????? ???? ?????? ???????? ??? ???? ??????? ??? ???? ??? ???? ??? ??? ????? ???? ??????? ???????? ???? ?????? ????? ??????? ???????? ??? ?????? ???? ??????? ?? ???.[76] ???? ??????? ??? ???? ?????? ??????? ????? ??????? ??? ?????? ????????? ????????? ????? ??????? ??? ?????? ???? ?????? ???????. ??? ??? ?? ??? ?? ?????? ????????? ?? ???????????? ????????? ??? ??? ????? ??? ?????? ?? ??????? ??? ????? ?? ????? ?????? ?????? ??????? ???????? ?? ????? ????? ?????? ??? ?? ???? ??????? ????????? ?????.[79][80]
* معادلات الانفعال - الازاحة:
 
?????? ??? ???? ?????? 18 ???? 1869 ?????? ??????? ?????????????? ???? ????? ???????? ??? ????? ??????? ??? ??????? ??????? ????? ????? ??? ??????? ??? ???? ????? ?? ??????? ???? ?? ???? ???? ???? ??? ??? ??? ??? ?????? ??????? ?? ???? ??? ???????? ????? ???????? ???? ???? ??????? ??????? ????? ???? ????? ?????? ??? ??? 1881 ???? ??? ????? ??????? ??????? ??? ????? ???????? ??????? ?????? ???????? ??????? ??????? ???????? ?????????? ??? ???.[81]
:<math>\varepsilon_{ij} =\frac{1}{2} (u_{j,i}+u_{i,j})\,\!</math>
 
????? ?? ?? ??????? ?????????? ??? ??? ??????? ??????? ???? ??? ???????? ?? ??????? ???? ???? (1914-1917) ??? ??? ??????? ??? ??? ????? ??? ???????? ??? ???? ??????? ???? ???? ?????? ??????? ??? ????? ???????? ?? 1914 ?? ????? ????? ???????? ??????. ??? ?????? ???? ??????? ??????? ?????????? ??? ???? ?? ???? ????? ?? ???? ???? ????? ???? ??? ?????? ??? ??? ??? 1922 ????? ???? ??? ??? ??????? ???????.[82][83]
* المعادلات الأساسية.و هذه المعادلة من قانون هوك:
???????
 
Crystal Clear app kdict.png ????? ?????: ??????? ???????
:<math>
\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl}
\,\!</math>
 
????? ?????? ??? ???? ??? ??????? ??? ???? ???? ???? ?????? ?? ???? ??? ???? ?????.
حيث:
 
??? ????? ??? ????? ???? ???? 1919 ??????????? ???? ??????? ????? ???????? ?? ??? ???? ????? ????? ??????? ??????? ??? ??? ??? ??? ? "????? 28 ?????? 1922" ????? ??? ??????? ?? ????? ????? ??????? ???????.[84]
* <math> \sigma_{ij}=\sigma_{ji}\,\!</math> هو تنسور كوشي للإجهاد (Cauchy stress tensor),
??? ??? 1923 ?????? "???? ????????" ???? ???? ????? 1923? ?????? ??? ???? ????? ?? ????? ??? ???????? ??? ??? ??? ????????. ?? ??? ?????? 1936 ???? 20 ???? ??? ??? ?????????? ??????? ??? ?? ??? ???? ??? 8 ?????? 1951 ????? ???? ??????? ????? ??????? ??????? ??????? ??? 1899? ?? ???? ??? ?????? ???????? ???? 3 ???? ??? ???? ??????? ?????? ??? ????? ????? ??? 27 ????? 1952? ?? ????? ???? ?? ????? ?????? ?? 1952 ??? ????? ????? ????? ??????? ??? ?????? ?? ??? ???????? ????? ?????? ???? ???? ?????? ??? ???? ????[85] ?? ????? ????????? ??? 18 ????? 1953.[86][87]
* <math> F_i\,\!</math> هي قوة الجسم، * <math> \rho\,\!</math> هي الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),
?????????
* <math> u_i\,\!</math> الازاحة، * <math> C_{ijkl}\,\!</math> هو تنسور الصلابة (stiffness tensor)، * <math> \lambda, \mu, \nu,\,\!</math> و<math> E\,\!</math> هي ثوابت للمادة، * <math> \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\,\!</math> هو الانفعال، * <math>\partial_t\,\!</math> هي <math>\partial/\partial t\,\!</math>.
 
Crystal Clear app kdict.png ?????? ?????: ???? 23 ????? ???? ???? ???? ??? ?????? ???? ???????
== وسائل الخواص الموحدة المتجانسة ==
 
Crystal Clear app kdict.png ???? ?????: ??? ?????????? ???? 6 ??????? ??????? ???? ?????
من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) والسلاسل المتكونة (التشوهات).و في الخواص الموحدة للوسط(اي هواء أو ماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لا يكون اي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة سوف لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة).و في حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:<ref>{{cite journal|url=|title=Deformation effects in layer crystals|date=1988|journal=Uspekhi Fizicheskikh Nauk|publisher=|issue=|volume=155|pages=89|last=Belen'kii|first=|first2=|last2=Salaev|doi=10.3367/UFNr.0155.198805c.0089}}</ref>
???? ???? ?????? ????? ???????? ??? ???????.
 
?? 23 ????? 1952 ??? ?????? ???? ???? ????? ?????? ??????? ?????? ??????? ????? ??????? ?????? ????? ??????? ??? ??????? ?? ?????? ???? ?? ??????? �?????? ????????� ???? ????? ????? ????? "???? 23 ?????"?[88][89] ??? ??? 1953 ????? ????????? ??? ?????? ?????? ???? ???? ??? ???? ????????? ????? ????? ???????[90] ?? ???? ???? ??? ?????? ????? ??? ??????? ?? ?????? ?? ????? ??????? ?????? ?? ???????? ???? ??????? ?? ????? ??????? ???????? ??? ????? ????? ??????? ???????? ?? ??? 1958 ????? ??? ?????? ??? ???? ????????? ??????? ??????? ???? ????? ??? 1961? ??? ????? ???? ?????? 1960-1970? ??? ???? ?????? ????? ??????? ?? ????????? ?? ??? ??? ??????.[91][92]
:<math> C_{ijkl}
= K \, \delta_{ij}\, \delta_{kl}
+\mu\, (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}-\textstyle{\frac{2}{3}}\, \delta_{ij}\,\delta_{kl})
\,\!</math>
 
???? ??????? ?? 5 ????? 1967 ??? ???? ??? ??? ?????? ??????? ?????? ????? ???????? ?????? ??????? ???? ??????� ????? ??? ???? ??? ????????? ??????? ??? ????? ??????? ??? ????? ?????? ??? ??? 1970 ???? ???? ??? ?????? ????? ?? ???? ????? ???? ???? ??????? ???? ??? ?????? ????? ????? ????? ?? ??????? ?????? ??????? ???????.[93][94]
حيث K (فقدان المقدرة) و<math>\mu\,\!</math> (الجمود) وهما ثابتان ويطلق عليهما معاملا المرونة، إذا كان الوسط متجانس تام, فإن معاملات المرونة (K و<math>\mu\,\!</math>) لن تكون مهمة للوسيط اي ان كل منهما بمقدار وحدة واحدة.
??? ????? ?????? ??? ????? ????? ??? ??????
 
?? 6 ??????? 1973 ?? ???? ??????? ?????? ???? ?????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ?????? ??????? ??? ?????? ??????????? ?? ?? ?? ??? ????? ????? ???????? ??? ?? ??? ???? ??? ?????? ?? ??? ?????? ?? ?????. ???? ????? ??? ?????? ??????? ??????? ?????? ???????? ????? ?????? ??????? ??? ????? ??????? ???????? ??????? ??? ????? ??????? ?????? ?? ??????? ??? 22 ?????? ????? ??? ??? ??????? ??? ????? ?????? ????? ?????? ??????? ?? ???????? ?????? ????????.[95][96]
المعادلة الأساسة هي:
:<math> \sigma_{ij}
=K\delta_{ij}\varepsilon_{kk}+2\mu(\varepsilon_{ij}-\textstyle{\frac{1}{3}}\delta_{ij}\varepsilon_{kk})
\,\!</math>
 
?? ??? 1977 ???? ?????? ??????? ???? ??????? ???? ?? ?????? ?????????? ????? ??????? ???? ????? ?????? ?????? ?? ????? ???????[97] ???? ??????? ?????? ???? ??? ????? ???? ?? ??????? ???? ???? ?????? ??????? ?????? ?? ????? ?? 25 ????? 1982 ??? ???? ???? ??????? ????? ????? ??????? ???? ??? ????? ??? ?? ??? ????????? ???? ??????? ??? ????? ?????? ?? ????? ??????? ???? ??? ?????????? ??? ????? ????? ??? ?? ????? ????? ??????? ?? ??? 1979 ??? ??? 1989.[98][99]
و يقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين، والايمن المرافق لقوة شد معينة.و بعبارة ابسط:
:<math> \sigma_{ij}
=\lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij}
\,\!</math>
 
?? 6 ??????? 1981? ???? ?????? ?? ?????? ?????? ??????? ??????? ?? ??? ??
حيث λ هي المعيار الأول أو [[الباروميتر]] الأول.
Crystal Clear app kdict.png ???? ?????: ??? ?????????? ???? 6 ??????? ??????? ???? ?????
لكن المعادلة التأسيسية هي معادلة خطية.و يمكن ان تكون بشكل أكثر عمومية كالتالي:
???? ???? ?????? ????? ???????? ??? ???????.
 
?? 23 ????? 1952 ??? ?????? ???? ???? ????? ?????? ??????? ?????? ??????? ????? ??????? ?????? ????? ??????? ??? ??????? ?? ?????? ???? ?? ??????? �?????? ????????� ???? ????? ????? ????? "???? 23 ?????"?[88][89] ??? ??? 1953 ????? ????????? ??? ?????? ?????? ???? ???? ??? ???? ????????? ????? ????? ???????[90] ?? ???? ???? ??? ?????? ????? ??? ??????? ?? ?????? ?? ????? ??????? ?????? ?? ???????? ???? ??????? ?? ????? ??????? ???????? ??? ????? ????? ??????? ???????? ?? ??? 1958 ????? ??? ?????? ??? ???? ????????? ??????? ??????? ???? ????? ??? 1961? ??? ????? ???? ?????? 1960-1970? ??? ???? ?????? ????? ??????? ?? ????????? ?? ??? ??? ??????.[91][92]
:<math>\varepsilon_{ij}
= \frac{1}{9K}\delta_{ij}\sigma_{kk} + \frac{1}{2\mu}\left(\sigma_{ij}-\textstyle{\frac{1}{3}}\delta_{ij}\sigma_{kk}\right)
\,\!</math>
 
???? ??????? ?? 5 ????? 1967 ??? ???? ??? ??? ?????? ??????? ?????? ????? ???????? ?????? ??????? ???? ??????� ????? ??? ???? ??? ????????? ??????? ??? ????? ??????? ??? ????? ?????? ??? ??? 1970 ???? ???? ??? ?????? ????? ?? ???? ????? ???? ???? ??????? ???? ??? ?????? ????? ????? ????? ?? ??????? ?????? ??????? ???????.[93][94]
و هو كما ذكرنا سابقا بأن الشق الأيمن يعبر عن قوة الشد والايسر عن الضغط.و بمعادلة ابسط:
??? ????? ?????? ??? ????? ????? ??? ??????
 
?? 6 ??????? 1973 ?? ???? ??????? ?????? ???? ?????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ?????? ??????? ??? ?????? ??????????? ?? ?? ?? ??? ????? ????? ???????? ??? ?? ??? ???? ??? ?????? ?? ??? ?????? ?? ?????. ???? ????? ??? ?????? ??????? ??????? ?????? ???????? ????? ?????? ??????? ??? ????? ??????? ???????? ??????? ??? ????? ??????? ?????? ?? ??????? ??? 22 ?????? ????? ??? ??? ??????? ??? ????? ?????? ????? ?????? ??????? ?? ???????? ?????? ????????.[95][96]
:<math>\varepsilon_{ij}
=\frac{1}{2\mu}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\delta_{ij}\sigma_{kk}=\frac{1}{E}[(1+\nu)\sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_
\,\!</math>
 
?? ??? 1977 ???? ?????? ??????? ???? ??????? ???? ?? ?????? ?????????? ????? ??????? ???? ????? ?????? ?????? ?? ????? ???????[97] ???? ??????? ?????? ???? ??? ????? ???? ?? ??????? ???? ???? ?????? ??????? ?????? ?? ????? ?? 25 ????? 1982 ??? ???? ???? ??????? ????? ????? ??????? ???? ??? ????? ??? ?? ??? ????????? ???? ??????? ??? ????? ?????? ?? ????? ??????? ???? ??? ?????????? ??? ????? ????? ??? ?? ????? ????? ??????? ?? ??? 1979 ??? ??? 1989.[98][99]
حيث ν [[نسبة بواسون]],و ''E''&nbsp; [[معامل يونغ]].
 
?? 6 ??????? 1981? ???? ?????? ?? ?????? ?????? ??????? ??????? ?? ??? ????? ?? ???? ??? ?????? ????? ???? ??????? ???????[100][101] ?? ?????? 1981 ???? ???? ???? ????? ????? ??????? ??? ???????? ???????? ???? ??? ????? ???? ????? ??.[102]
=== الالستوستاتيك ===
 
????? ???? ???? ????? ??? ???? ?? 30 ?????? ???? ?????? ??? ?????? ??????? ?? ????????? ???????? ???????? ??? ??? ??????? ??????? ???: ????? ????? ??????? 1986 ???? ????? ?????? (????? ????? ???? ?? ?????? ???????) ?????? ?????? 1997 ????? ???? ?????? ????? ????? ?????? 98 ?? ????? 6 ????? ??????? ??? ????? ?????? ???? 25 ????? 2011 ????? ????? ?? ?? ?????.[102][103][104]
هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن, حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر, والازاحة هنا ليست دالة الوقت. ومعادلة التوازن هي:
???? 25 ?????
 
Crystal Clear app kdict.png ?????? ?????: ???? 25 ????? ????? 2011 ?? ???
:<math>
\sigma_{ij,j}+ F_i = 0
\,\!</math>
 
???????? ?? ????? ??????? ??? ???? ??? ?????? ???? ???? ??? ?? ??????? ???? ?????.
=== صيغة الازاحة ===
 
???? ???? ??? ????? ???????? ????????? ??? ???? ??????? ???????? ????????? ???????????? ??????? ?????? ???? ?? ??????? ??????? ?????? ???????? ??? ??????? ???????? ?? ?????????? ?????????? 2010.[105] ???? ???? ??????? ????? ???? ???? ???????? ?? ???? ??? ??????? ?? ????? ?????? ????? ??? 25 ????? 2011 (??? ??? ??????) ?????? ???? ???????? ????? ????? ????? ?????????? ???????? ??? ??? ??? 28 ????? ????? ??? �???? ?????� ????? ???? ??? ?????? ?? ??????? ???????? ????? ???
ان الازاحات معروفة في كل مكان على حدود الجسم. وفي هذا السياق فان الاجهاد والانفعال لن تكون مجهولة حسب قانون هوك, كما هو مبين في المعادلة التالية:<ref name="Slau2" />
 
:<math>\begin{align}
\sigma_{ij} &= \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij} \\
&= \lambda\delta_{ij}u_{k,k}+\mu\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) \\
\end{align}
\,\!</math>
 
* اختلاف التوسعات (Differentiating yields):
 
:<math>
\sigma_{ij,j} = \lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)\,\!</math>
 
* استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:
 
:<math>\lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right) +F_i=0\,\!</math>
أو
:<math>\mu u_{i,jj}+(\mu+\lambda)u_{j,ij}+F_i=0\,\!</math>
 
حيث <math>\lambda\,\!</math> و<math>\mu\,\!</math> معايير عوجاء(Lamé parameter).
 
=== المعادلة التوافقية الثنائية ===
 
يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي:
 
:<math>(\alpha^2-\beta^2)u_{j,ij}+
\beta^2u_{i,mm}=-F_i\,\!</math>
 
و إذا فرضنا ان القوة تساوي صفر (<math>F_{i,i}=0\,\!</math>),فستتكون لنا المعادلة التالية:
 
:<math>(\alpha^2-\beta^2)u_{j,iij}+\beta^2u_{i,imm} = 0\,\!</math>
 
و إذا بسطنا المعادلة السابقة:
 
:<math>\alpha^2u_{j,iij} = 0\,\!</math>
 
حيث نستنتج ان:
 
:<math>u_{j,iij} = 0\,\!</math>
 
=== صيغة الضغط ===
 
:<math>\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0\,\!</math>
 
=== حلول للحالات المرنة ===
 
* نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.
* اتصال جسمين مرنين معا يكون [[مغناطيس|تمغنط]].
 
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|فيزياء}}
 
[[تصنيف:مرونة]]
[[تصنيف:ميكانيكا المواد الصلبة]]
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/wiki/مرونة_خطية»