←قوانين الجبر البولياني
[نسخة منشورة] | [مراجعة غير مفحوصة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
Ramses Nagib (نقاش | مساهمات) |
|||
سطر 102:
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الانفصال (أو) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الجمع في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للجمع ''
=== قانون الإبدال لعملية الاتصال ===
سطر 111:
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الاتصال (و) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الضرب في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للضرب ''
=== قانون الدمج لعملية الانفصال ===
سطر 120:
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (أو) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الجمع في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للجمع ''
=== قانون الدمج لعملية الاتصال ===
سطر 129:
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (و) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الضرب في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للضرب ''
=== قانون توزيع الاتصال على الانفصال ===
يعرف قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:
<math>A \and (B \or C) = (A \and B) \or (A \and C)</math>
وهو يشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:
<math>A(B+C) = AB + AC</math>
ولذلك يسمى القانون في الجبر البولياني بقانون توزيع الضرب على الجمع ''Distributive law of multiplication over addition''.
=== قانون توزيع الانفصال على الاتصال ===
يعرف قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:
<math>A \or (B \and C) = (A \or B) \and (A \or C)</math>
وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:
* بإيجاد جدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يمين المتطابقة، وجدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يسارها، ومطابقة الجدولين.
* باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال الموضح أعلاه. فبالنظر إلى الطرف الأيمن للمتطابقة، نجد أنه يمكننا توزيع <math>(A \or B)</math> على <math>(A \or C)</math> وذلك باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال:
<math>R.H.S = (A \or B) \and (A \or C) = ((A \or B) \and A) \or ((A \or B) \and C)</math> بعد ذلك يمكن توزيع <math>A</math> على <math>(A \or B)</math> وتوزيع <math>C</math> على <math>(A \or B)</math> باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:
<math>((A \or B) \and A) \or ((A \or B) \and C) = (A \and A) \or (B \and A) \or (A \and C) \or (B \and C)</math> ونلاحظ أن قيمة <math>(A \and A)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن قيمة <math>(A \and A)</math> تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال <math>(A \and A)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة.
<math>(A \and A) \or (B \and A) \or (A \and C) \or (B \and C) = A \or (B \and A) \or (A \and C) \or (B \and C)</math> نلاحظ أيضاً أن قيمة <math>A \or (B \and A) \or (A \and C)</math> مكافئة لـ <math>A</math> (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة <math>A</math> مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي <math>B</math> و<math>C</math>. وبهذا يمكن استبدال <math>A \or (B \and A) \or (A \and C)</math> بالمتغير <math>A</math> مباشرة:
<math>A \or (B \and A) \or (A \and C) \or (B \and C) = A \or (B \and C) = L.H.S</math>
== قواعد الجبر البولياني ==
فيما يلي قائمة بالقواعد الأساسية في الجبر البولياني وعددهم اثنا عشر قاعدة قابلة للإثبات باستخدام جداول الحقيقة. ويمكن استخدامهم في تبسيط وحل مسائل الجبر البولياني.
=== قاعدة المحايد لعملية الانفصال ===
<math>A \or 0 = A</math>
=== قاعدة المحايد لعملية الاتصال ===
<math>A \and 1 = A</math>
=== قاعدة المدمر لعملية الانفصال ===
<math>A \or 1 = 1</math>
=== قاعدة المدمر لعملية الاتصال ===
<math>A \and 0 = 0</math>
=== قاعدة عملية الانفصال لنفس المتغير ===
<math>A \or A = A</math>
=== قاعدة عملية الاتصال لنفس المتغير ===
<math>A \and A = A</math>
=== قاعدة عملية الانفصال للمتغير مع متممه ===
<math>A \or \neg{A} = 1</math>
=== قاعدة عملية الاتصال للمتغير مع متممه ===
<math>A \and \neg{A} = 0</math>
=== قاعدة المتمم للمتمم ===
<math>\neg(\neg A) = A</math>
=== قاعدة المص الأولى ===
<math>A \and (A \or B) = A</math>
=== قاعدة المص الثانية ===
<math>A \or (A \and B) = A</math>
=== قاعدة المص لمتغير منفصل عن اتصال متممه مع متغير آخر ===
<math>A \or (\neg A \and B) = A \or B</math>
==انظر أيضا==
|