حساب مقاسي: الفرق بين النسختين

[[ملف:Clock group.svg|thumb|left|الساعة الحائطية تستعمل الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات بترددقياس يساوي 12.]]

في [[الرياضيات]] وبالتحديد في مجال [[نظرية جبرية للأعداد|النظرية الجبرية للأعداد]]، '''الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات''' {{إنج|modular arithmetics}} هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من [[قسمة أقليدية|القسمة الإقليدية]].

ترتكزفكرة الحسابياتالتطابقات النمطيةتأتي أساسا علىمن النظر إلى باقي قسمة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. فهذا يظهر هذا جليا في مثالالساعة، ''حسابيات المنبه''، الذيحيث يوافقتوافق حالة ''n=12'' : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13 أو يتطابق العدد 13 مع العدد 1 قياس 12.

في [[الرياضيات الأساسية]], هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو [[نظرية الأعداد#المبرهنة الجبرية للأعداد|المبرهنة الجيريةالجبرية للأعداد]]<ref>{{Samuel1}}</ref>,، التي تتضمن مجالا أكثر توسعا,توسعا، تتضمن مثلا مفاهيم [[عدد جبري|الأعداد الجبرية]] و[[مبرهنة غالوا]]<ref>A. Fröhlich, ''Galois Module structure of Algebraic integers'', Springer-Verlag, Berlin, 1983.</ref>.

في [[الرياضيات التطبيقية]],، لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات [[نظرية المعلوميات]] [[علم التعمية|كالتشفير]] و[[نظرية الترميز]] و[[معلوميات|المعلوميات]]. لعدد من الأدوات و[[خوارزمية|خوارزميات]] داخل هذا المجال نجد [[اختبار أولية عدد ما]] و[[مشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية|التفكيك إلى جداء عوامل أولية]]<ref>Chantal David ''[http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/cdavid/TALKS/crypto.pdf Cryptographie à clé publique et factorisation]'' Université Concordia Quebec pp. 11-17</ref>,، استعمال [[مميزة ديريشلي|مميزات مجموعة]] مثلا بالنسبة ل[[تحويل فوريي المتقطع]]<ref>J-M Muller J-C Bajard ''Calcul arithmétique des ordinateurs'' Traité Hermes CNRS 2004 [http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/ExtraitsTraiteIC2.pdf lire] pp. 142-150 et pp. 181-201</ref> أو دراسة [[علاقة التكافؤ|الخارج]] أو الخاصة بالأعداد الطبيعية,الطبيعية، كما في [[كثيرة الحدود|الدوال الحدودية]]<ref>Pascal Giorgi ''Arithmétique modulaire entière en base polynomiale'' Séminaire de l'université de Perpignan 2005 [http://webdali.univ-perp.fr/~pgiorgi/seminaire-ljk.pdf lire]</ref>.

حسب مختلف العلماء والمألفين وحسب مجال التطبيق,التطبيق، تعتبر هذه التمديدات,التمديدات، إما جزء من الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات<ref>Thomas Plantard ''L'arithmétique modulaire pour la cryptographie'' Université de Montpelier 2005 [http://www.loria.fr/equipes/spaces/200602161000.pdf lire]</ref> أو تطبيقات أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة,البسيطة، تحمل في بعض الأحيان

''حسابيات المنبه''<ref>[[Simon Singh]] ''Histoire des codes secrets'' p. 324-329</ref>. المفهوم نظام نمطي مستعمل<ref>Pascal Paillier ''Low-cost double-size modular exponentiation or how to stretch your cryptoprocessor'' GEMPLUS, ENST Lecture notes in computer science Springer, Berlin 1973</ref> في الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات في مجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.

===الأصول الأولىالبدايات ===

[[ملف:Pierre de Fermat.jpg|thumb|left|[[بيير دي فيرما]] développe largement l'[[arithmétique]]. Les propriétés de la [[division euclidienne]],، fondement de l'arithmétique modulaire,modulaire، sont largement utilisées par ce mathématicien.]]

[[ملف:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|left|[[ليونهارت أويلر]],، théoricien des nombres du الثامن عشر، حلحل العديد من [[معادلة ديوفانتية|المعادلات الديوفانتية]].]]

[[ملف:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|[[كارل فريدريش غاوس]] هو مؤسس الفرع من الرياضيات الذي يدعى حاليا ''الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات''.]]

[[ملف:Enigma.jpg|thumb|''[[آلة إنجما]]'',، آلة للتعمية استعملت خلال [[الحرب العالمية الثانية]]، كُسر تشفيرها من طرف عالم الرياضيات [[ماريان رييفسكي]].]]

=== تساوي عددين بترددقياس عدد ثالث ===

للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة,المجموعة، علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.

بالنسبة ل[[كارل فريدرش غاوس]] فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة,المجموعة، والمسماة [[حلقة (رياضيات)|حلقة]] ل [[تقارب الأعداد الطبيعية|تقارب]] ورمزها [[حلقة Z/nZ|''Z''/''nZ'']]. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع,الجمع، الذي يعرف ب[[زمرة دائرية]] ذات المولد ''1'' ; ثم عملية الضرب,الضرب، المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا [[عدد أولي|عددا أوليا]],، نحصل على [[حقل رياضي|حقل]] . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب ''Disquisitiones arithmeticae'' تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما [[مبرهنة ويلسون]]<ref>[[كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p56 1807</ref> و[[مبرهنة فيرما الصغرى|البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى]] <ref>[[كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p. 34 1807</ref>.

الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات ، في حالة لم يكنتكن الترديدقياس عددا أولياأولي ، أكثرفهي تعقيداأعقد. [[مبرهنة الباقي الصيني]] تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير [[حلقة داخلية|داخلية]],، حيث يوجد [[قاسم للصفر|قواسم الصفر]],، وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة [[مؤشر أويلر]]. وهي تتيح مثلا,مثلا، [[مبرهنة فيرما الصغرى|تعميم مبرهنة فيرما الصغرى]].

===حروف دركليهدرشليه===

درس دركليهدرشليه [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] اللائي يأخذن الشكل ''n'' + λ''m'' حيث m و n [[أعداد أولية فيما بينها|عددان أوليان فيما بينهما]] وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.

تعتبر الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات نظاما حسابيا للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية (modulus) معينة ، و هي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير <math>\mod</math> . مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن " تطابق " (congruency) .

=== خصائص الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات ===