حسابيات معيارية: الفرق بين النسختين

تم إزالة 63 بايت ، ‏ قبل 3 سنوات
ط
غيرت ترجمة حساب النمطيات إلى حساب التطابقات
ط (بوت: التعريب)
ط (غيرت ترجمة حساب النمطيات إلى حساب التطابقات)
[[ملف:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|الصفحة الأولى من الطبعة الأصلية من كتاب [[كارل فريدريش غاوس]]، '''''[[استفسارات حسابية]]'''''، الكتاب المؤسس للحسابيات النمطية.]]
 
[[ملف:Clock group.svg|thumb|left|الساعة الحائطية تستعمل الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات بترددقياس يساوي 12.]]
 
في [[الرياضيات]] وبالتحديد في مجال [[نظرية جبرية للأعداد|النظرية الجبرية للأعداد]]، '''الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات''' {{إنج|modular arithmetics}} هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من [[قسمة أقليدية|القسمة الإقليدية]].
 
ترتكزفكرة الحسابياتالتطابقات النمطيةتأتي أساسا علىمن النظر إلى باقي قسمة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. فهذا يظهر هذا جليا في مثالالساعة، ''حسابيات المنبه''، الذيحيث يوافقتوافق حالة ''n=12'' : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13 أو يتطابق العدد 13 مع العدد 1 قياس 12.
 
== استعمالات ==
في [[الرياضيات الأساسية]], هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو [[نظرية الأعداد#المبرهنة الجبرية للأعداد|المبرهنة الجيريةالجبرية للأعداد]]<ref>{{Samuel1}}</ref>,، التي تتضمن مجالا أكثر توسعا,توسعا، تتضمن مثلا مفاهيم [[عدد جبري|الأعداد الجبرية]] و[[مبرهنة غالوا]]<ref>A. Fröhlich, ''Galois Module structure of Algebraic integers'', Springer-Verlag, Berlin, 1983.</ref>.
 
في [[الرياضيات التطبيقية]],، لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات [[نظرية المعلوميات]] [[علم التعمية|كالتشفير]] و[[نظرية الترميز]] و[[معلوميات|المعلوميات]]. لعدد من الأدوات و[[خوارزمية|خوارزميات]] داخل هذا المجال نجد [[اختبار أولية عدد ما]] و[[مشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية|التفكيك إلى جداء عوامل أولية]]<ref>Chantal David ''[http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/cdavid/TALKS/crypto.pdf Cryptographie à clé publique et factorisation]'' Université Concordia Quebec pp. 11-17</ref>,، استعمال [[مميزة ديريشلي|مميزات مجموعة]] مثلا بالنسبة ل[[تحويل فوريي المتقطع]]<ref>J-M Muller J-C Bajard ''Calcul arithmétique des ordinateurs'' Traité Hermes CNRS 2004 [http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/ExtraitsTraiteIC2.pdf lire] pp. 142-150 et pp. 181-201</ref> أو دراسة [[علاقة التكافؤ|الخارج]] أو الخاصة بالأعداد الطبيعية,الطبيعية، كما في [[كثيرة الحدود|الدوال الحدودية]]<ref>Pascal Giorgi ''Arithmétique modulaire entière en base polynomiale'' Séminaire de l'université de Perpignan 2005 [http://webdali.univ-perp.fr/~pgiorgi/seminaire-ljk.pdf lire]</ref>.
 
حسب مختلف العلماء والمألفين وحسب مجال التطبيق,التطبيق، تعتبر هذه التمديدات,التمديدات، إما جزء من الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات<ref>Thomas Plantard ''L'arithmétique modulaire pour la cryptographie'' Université de Montpelier 2005 [http://www.loria.fr/equipes/spaces/200602161000.pdf lire]</ref> أو تطبيقات أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة,البسيطة، تحمل في بعض الأحيان
''حسابيات المنبه''<ref>[[Simon Singh]] ''Histoire des codes secrets'' p. 324-329</ref>. المفهوم نظام نمطي مستعمل<ref>Pascal Paillier ''Low-cost double-size modular exponentiation or how to stretch your cryptoprocessor'' GEMPLUS, ENST Lecture notes in computer science Springer, Berlin 1973</ref> في الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات في مجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.
 
==التاريخ==
===الأصول الأولىالبدايات ===
[[ملف:Diophantus-cover.jpg|right|thumb|الصفحة الأولى لطبعة [[1621]] ل [[أريثميتيكا (كتاب)]] لمؤلفه [[ديوفانتوس الإسكندري]]، المترجمة إلى [[لغة لاتينية|اللاتينية]] من طرف [[كلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك]].]]
 
===الظهور في أوروبا===
[[ملف:Pierre de Fermat.jpg|thumb|left|[[بيير دي فيرما]] développe largement l'[[arithmétique]]. Les propriétés de la [[division euclidienne]],، fondement de l'arithmétique modulaire,modulaire، sont largement utilisées par ce mathématicien.]]
 
===الطرق المستعملة===
[[ملف:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|left|[[ليونهارت أويلر]],، théoricien des nombres du الثامن عشر، حلحل العديد من [[معادلة ديوفانتية|المعادلات الديوفانتية]].]]
 
===مساهمات كارل فريدريش غاوس===
[[ملف:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|[[كارل فريدريش غاوس]] هو مؤسس الفرع من الرياضيات الذي يدعى حاليا ''الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات''.]]
 
===القرن العشرون===
[[ملف:Kerkhoffs.jpg|right|thumb|[[أوجوست كيركهوفس]] أعلن مبدأ مؤسسا [[علم التعمية|لعلم التعمية]] المعاصر.]]
 
[[ملف:Enigma.jpg|thumb|''[[آلة إنجما]]'',، آلة للتعمية استعملت خلال [[الحرب العالمية الثانية]]، كُسر تشفيرها من طرف عالم الرياضيات [[ماريان رييفسكي]].]]
 
====نظرية المعلومات ====
 
== طرق حساب التطابقات ==
== وسائل الحسابيات النمطية ==
=== تساوي عددين بترددقياس عدد ثالث ===
للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة,المجموعة، علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.
 
بالنسبة ل[[كارل فريدرش غاوس]] فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة,المجموعة، والمسماة [[حلقة (رياضيات)|حلقة]] ل [[تقارب الأعداد الطبيعية|تقارب]] ورمزها [[حلقة Z/nZ|''Z''/''nZ'']]. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع,الجمع، الذي يعرف ب[[زمرة دائرية]] ذات المولد ''1'' ; ثم عملية الضرب,الضرب، المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا [[عدد أولي|عددا أوليا]],، نحصل على [[حقل رياضي|حقل]] . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب ''Disquisitiones arithmeticae'' تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما [[مبرهنة ويلسون]]<ref>[[كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p56 1807</ref> و[[مبرهنة فيرما الصغرى|البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى]] <ref>[[كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p. 34 1807</ref>.
 
الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات ، في حالة لم يكنتكن الترديدقياس عددا أولياأولي ، أكثرفهي تعقيداأعقد. [[مبرهنة الباقي الصيني]] تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير [[حلقة داخلية|داخلية]],، حيث يوجد [[قاسم للصفر|قواسم الصفر]],، وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة [[مؤشر أويلر]]. وهي تتيح مثلا,مثلا، [[مبرهنة فيرما الصغرى|تعميم مبرهنة فيرما الصغرى]].
 
===الأعداد الصحيحة الجبرية===
[[ملف:Fermat deux carrés.jpg|thumb|right|بيان للبرهان على [[مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين]] باستعمال [[عدد صحيح غاوسي|الأعداد الصحيحة الغاوسية]]]]
 
===حروف دركليهدرشليه===
{{مفصلة|حرف دركليه}}
 
[[ملف:Dirichlet.jpg|thumb|left|طور [[يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه]] الجزء الأساسي من النظرية في إطار الحلقة ℤ/nℤ.]]
 
درس دركليهدرشليه [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] اللائي يأخذن الشكل ''n'' + λ''m'' حيث m و n [[أعداد أولية فيما بينها|عددان أوليان فيما بينهما]] وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.
 
== أساسيات ==
تعتبر الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات نظاما حسابيا للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية (modulus) معينة ، و هي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير <math>\mod</math> . مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن " تطابق " (congruency) .
 
على فرض لدينا عدد صحيح موجب <math>n\!</math> وعدد صحيح <math>a\!</math> فإننا بقسمة <math>a\!</math> على <math>n\!</math> نحصل على عدد صحيح <math>q\!</math> هو ناتج القسمة وعدد صحيح <math>r\!</math> هو باقي القسمة بحيث يحققان العلاقة التالية:
* <math>a \equiv b \mod n \wedge b \equiv c \mod n \Rightarrow a \equiv c \mod n</math>
 
=== خصائص الحسابياتحساب النمطيةالتطابقات ===
<math> (xy)\bmod \ m=((x \ \bmod \ m)(y \ \bmod \ m))\bmod \ m </math>
 
3

تعديل