فرق محدود: الفرق بين النسختين

يمكن باستخدام طريقة الفروق الحدية استبدال العلاقات التكرارية كمعادلات فروق وتفاضل باستبدال رموز التكرار بالفروق المحدودة.

== الفروق الأمامية والخلفية والمركزية ==

الفروق الأمامية ويعبر عنها بالصيغة

<math> \Delta_h[f](x) = f(x + h) - f(x) </math>

والفروق الخلفية التي تستخدم قيم الدالة عند <math>x</math> و <math>x-h</math> بدلاً من <math>x+h</math> و <math>x</math>

<math> \nabla_h[f](x) = f(x) - f(x-h) </math>

<math> \delta_h[f](x) =f(x+\tfrac12h)-f(x-\tfrac12h)</math>

== علاقة الفروق الحدية بالتفاضل ==

يتم الحصول على تفاضل الدالة <math>f(x)\,</math> عند النقطة <math>x</math> من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

فإذا كان لـ <math>h</math> قيمة ثابتة لا تساوي الصفر بدل أن تكون تسعى للصفرفإن الحد الأيمن للمعادلى السابقة يمكن أن يكتب كمايلي:

<math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\Delta_h [f](x)}{h}</math>

وبذلك فإن الفرق الأمامي المقسوم على <math>h</math> هو تقريب للتفاضل إذا كانت قسمة <math>h</math> صغيرة. والخطأ في هذا التقريب يمكن اشتقاقه من [[مبرهنة تايلور]]. بفرض أن <math>f</math> قابل للتفاضل بشكل مستمر فإن الخطأ يعطى بالعلاقة

<math>\frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0)</math>

<math>\frac{\nabla_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h)</math>

 

== انظر أيضا ==

* [[متسلسلة تايلور وماكلورين]]

 

== مراجع ==

[[تصنيف:حوسبة عددية]]

[[تصنيف:علوم حاسوبية]]

[[تصنيف:فيزياء رياضية]]

[[تصنيف:معادلات تفاضلية عددية]]