طوبولوجيا: الفرق بين النسختين

في [[الرياضيات]]، '''الطوبولوجيا''' {{إنج|Topology}} أو '''علم الفراغ''' أو '''علم المكان''' كلمة [[يونانية]] (من ''topos'' وتعني مكان و''logos'' تعني دراسة) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية.

تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة [[لامتباينات طوبولوجية|باللامتباينات الطوبولوجية]]، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا.

[[ملف:Möbius strip.jpg|تصغير|240بك|[[شريط موبيوس]]]]

يمكن القول على سبيل التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر.

كذلك يمكن القول أن الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من [[فراغ طوبولوجي|فراغ]] إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل.

لفهم معنى كلمة التشاكل فإنه يقال عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة و[[دالة تباينية|متباينة]].

== تعريف ==

الطوبولجيا من النظريات (التركيبات) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت خلال القرن العشرين. رغم أن جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم كل الرياضيات.

وقد نما الطوبولوجيا من نواحي هندسية كما في الطوبولوجيا التجميعي (التوافقي) combinatorial على أيدي [[أويلر]] و[[أوغست فيرديناند موبيوس]] و[[فيليكس كلاين]] و[[ريمان]] وتبلور على يد [[هنري بوانكاريه]]. ونما من التحليل الرياضي وامتدادا لنظرية الفئات كما في الطوبولوجيا التحليلي (العام)، ومن ثم فإن نموه اتبع خطين أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات الطوبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون التركيز فيها على تركيب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجيا (الطوبولوجيا الجبري) على أيدي ايلنبرج وستينرود (1930)، والهومولجيا عل يد أيلنبرج (1945)، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال [[هنري بوانكاريه]] (1900)، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال [[ريمان]] (1850 - 1870).

أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى االفراغات الطوبولجية حاملة للدوال المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها. ومن هذه المجالات نظرية [[ستيفن باناخ|باناخ]] وفراغات [[هيلبرت]] وجبريات [[ستيفن باناخ|باناخ]] والنظرية الحديثة للتكامل (تكامل [[هنري لوبيغ|لوبيغ]]) ونظرية القياس و[[تحليل توافقي|التحليل التوافقي]] الحديث و[[تحليل دالي|التحليل الدالي]].

وهذ يوضح أن الطوبولوجيا أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة. وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع الطوبولوجيا هو تركيب الفراغ الطوبولوجي والطوبولوجيا التحليلي (العام).

ويعتبر [[كانتور]] من الأوئل المخترعين للطوبولوجيا التحليلي، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ الطوبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة والانغلاق ونقطة النهاية والداخل والخارج،....خاصة على خط الأعداد.

أما تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى طوبولوجيا الفئات المفتوحة point set topologe فقدمه [[كازيميرز كوراتوفسكي]] (1922)، وعن طريق الجوار فقدمه [[فيليكس هاوسدورف]] (1914). وقد سبقهما [[فرشيه]] (1906) و[[ريسز]] (1907 - 1908) في تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير مرضية، وقدم [[أندريه كولموغوروف]] (1935) و[[ريسز]] (1907)، و[[فيليكس هاوسدورف|هاوسدروف]] (1914)، و[[تشينوف]] (1930) أنواعا من الفراغات الطوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال.

وببساطة الأنواع (الفروع أو المجالات الأساسية للطوبولوجيا) :

* الطوبولوجيا التحليلي (طوبولوجيا فئات النقط)

* الطوبولوجيا الهندسي (التجميعي).

* الطوبولوجيا الجبري.

== التاريخ ==

كانت بدايات الطبولوجيا في البحث عن أجوبة لتساؤلات هندسية في أواسط القرن الثامن. وتعتبر المسألة التي طرحها العالم الرياضي [[ليونهارد أويلر]] عام 1736 بعنوان [[جسور كونيغسبرغ السبعة]] أول ورقة بحث أكاديمي في الطوبولوجيا.

وتستند الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على [[نظرية المجموعات]].

من أشهر علماء الطبولوجيا في بدايات القرن العشرين الرياضي [[فيليكس هاوسدورف]] الذي قدّم في عام 1914 مفهوم الفضاءات الطبولوجيا وما سيعرف لاحقاً باسم [[فضاء هاوسدورف]].

== انظر أيضاً ==

* [[فيليكس هاوسدورف]]

* [[ليونهارد أويلر]]

* [[نظرية المجموعات]]

== مراجع ==

== وصلات خارجية ==

* [http://mathramz.com/math/generaltopology الطوبولوجي العام على شبكة الرياضيات رمز]