استقراء رياضي: الفرق بين النسختين

'''الاستقراء الرياضي''' {{إنج|Mathematical induction}} هو أحد أنواع [[برهان رياضي|البرهان الرياضي]] تستخدم عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة ل[[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] لانهائية من الأعداد، ك[[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]]. يعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار [[دومينو|الدومينو]]، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ '''أوّل رقم''' في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على '''الفرض''' وعلى '''الأساس'''.

 

 

=== البناء من ''n'' = 2 ===

معرفا ومعلومابحيث يحقق [[خاصية التجميع]] (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''), فإن الجمع الثلاثي ''a'' + ''b'' + ''c'' يصبح منطقيا إما على الصورة ''a'' + ''b'') + ''c'') أو الصورة (''a'' + (''b'' + ''c''. بالمثل الكثير من البديهيات والنظريات الرياضية يمكن إقراره فقط على التحويلات الثنائية من العمليات والعلاقات, ومن ثم توسيعها ضمنيا لتحويلات أعلى.

 

كما أن اختيار ''n'' = 1 سيكون عاديا أيضا., <math>f_1' = f_1' \!.</math> وفي كل ''n'' ≥ 3, يكون من السهل إثباتها من الحالة السابقة ''n'' − 1. تكمن الصعوبة الفعلية في حالة ''n'' = 2 وهذا هو السبب وراء نصها في قاعدة الضرب القياسية.

 

 

في هذا المثال, العملية الثنائية انفة الذكر هي علاقة مكافئة مطبقة على الأحصنة, بحيث أن كل حصانين يكونان متكافئان إذا كان لهما نفس اللون. الحجة في الاساس مماثلة لماسبق, ولكن الحالة الحرجة ''n''&nbsp;=&nbsp;2 تفشل, مسببة النقاش الداخلي غير مسموح به.

 

== استقراء تام ==

ليس ضروريا ذكر حالة الأساس في الاستقرار التام كافتراض منفصل. عندما نأخذ بعين الاعتبار الحالة الأولى, فأن اعتبار صحة الشرط لجميع الحالات السابقة أمر صحيح لاداعي لذكره. فخطوة الاستقراء للاستقراء التام في هذه الحالة مقابلة لحالة الأساس في الاستقراء العادي. وعلى ذلك ينبغي للإثبات بخطوة الاستقراء في الاستقراء التام أن تكون قادرة على العمل مع شرط خالي شبيه لما سبق. الإثبات الأول في السابق ليس من هذا النوع (لكن يمكن تحويله).

 

:<math> \operatorname{F}(n) = \frac{(\varphi_+)^n - (\varphi_-)^n}{(\varphi_+) - (\varphi_-)}</math>

 

<math> \operatorname{F}(m + 1) = \operatorname{F}(m) + \operatorname{F}(m - 1)</math>, يمكن التحقق من المتطابقة السابقة مباشرة بالتفاضل والتكامل <math> \operatorname{F}(m + 1)</math> إذا افترضنا صحتها لكل من <math>\operatorname{F}(m)</math> و<math> \operatorname{F}(m - 1)</math>. لاستكمال الإثبات, يجب تحيقيق المتطابقة باستخدام كلا حالتي الأساس ''n'' == 0 و''n'' == 1.

 

== المصادر والملاحظات ==

{{مراجع}}

{{شريط بوابات|رياضيات}}

 

[[تصنيف:استقراء رياضي]]

[[تصنيف:براهين]]

[[تصنيف:منطق رياضي]]

[[تصنيف:نظرية البرهان]]