معادلة تربيعية: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
الرجوع عن تعديل معلق واحد من 197.6.6.165 إلى نسخة 18752574 من SHBot. |
ط روبوت: استبدال قوالب: إنك; تغييرات تجميلية |
||
سطر 1:
{{مصدر|تاريخ=مارس 2016}}
[[ملف:Quadratic equation coefficients.png|thumb|left|350px|رسم تخطيطي للدالة التربيعية ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''. في كل مرة نقوم بتغيير قيمة أحد معاملات
في [[الرياضيات]] وبالتحديد في [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]، '''المعادلة التربيعية''' {{
<center><math>ax^2 + bx + c = 0\;</math></center>
حيث يمثل <math>x</math> المجهول أو [[متغير (رياضيات)|المتغير]] أما <math>{a}</math>، <math>{b}</math> ، <math>{c}</math>
يطلق على <math>{a}</math> المعامل الرئيسي وعلى <math>{c}</math> الحد الثابت . و يشترط أن يكون <math>a\ne 0</math>. أما إذا كان <math>{a=0}</math> عندها تصبح المعادلة [[معادلة خطية]].
سطر 11:
يتم إيجاد حلول (أو جذور) المعادلة التربيعية باستعمال عدة طرق: باستعمال الصيغة التربيعية أو طريقة إكمال المربع أو طريقة حساب [[مميز|المميز]] أو طريقة الرسم البياني.
== حل معادلة تربيعية ==
للمعادلة التربيعية ذات المعاملات [[عدد حقيقي|الحقيقية]] أو [[عدد عقدي|العقدية]] حلّان (ليس بالضرورة أن يكونا [[متمايز
يتم إيجاد حلول المعادلة التربيعية بإحدى الطرق التالية:
=== الصيغة التربيعية ===
الصيغة التربيعية أو الشكل العام هي العبارة الرياضية التي يتم بها حساب حلول المعادلات التربيعية وتعطى بالعلاقة التالية:
<center><math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>
سطر 26:
| headerstyle = background: #efefef; border:1px red; font-size: 100%;
| contentstyle =background: #efefef; border:1px red; text-align: right;
| header = طريقة استنتاج العلاقة التربيعية
| content =
نعتبر معادلة تربيعية من الشكل:
<center><math>ax^2 + bx + c = 0\;</math></center>
* يتم قسمة جميع المعامل الأطراف على <math>{a}</math> (بما أن <math>{a} \ne 0</math>):
<center><math> \frac{a}{a} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\!</math></center>
* و منه:
<center><math> x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\!</math></center>
* نضيف عددا يساوي <math>(\frac{b}{2a})^2\!</math> إلى الطرفين وهذا يجعل الطرف الأيسر يبدو في شكل جداء شهير (أو ما يسمى "مربع كامل").
<center><math> x^2 +\frac{b}{a}x+ (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} +(\frac{b}{2a})^2\!</math></center>
* نكتب الطرف الأيسر على شكل جداء تربيعي:
<center><math>(x + \frac{b}{2a})^2 =\sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2}\!</math></center>
* نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر بالجذر التربيعي الموجب والسالب للطرف الأيمن.
<center><math> x+ \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2} \!</math></center>
* نحل المعادلين الخطتين المشكلتين.
<center><math> x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2}\!</math></center>
* بتبسيط العلاقة السابقة نحصل على العبارة التالية والتي تمثل الصيغة التربيعية أوالشكل العام للجذور:
<center><math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>
}}
=== علاقة المعاملات بالجذور ===
إذا كان <math>\ x_1 </math> ، <math>\ x_2 </math> هما جذري المعادلة
<math>ax^2+bx+c=0\!</math>
فإن العلاقة بين معاملات المعادلة و جذورها تكون كالتالي:
<center><math>x_1 + x_2 = \frac{-b }{a}\quad \text{,}\quad x_1.x_2 = \frac{c}{a}</math></center>
=== طريقة إكمال المربع ===
يتم استعمال طريقة [[إكمال المربع]] بتبسيط المعادلة وتحويلها إلى الشكل:
<math>x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2\!</math>
سطر 68:
نعتبر معادلة تربيعية من الشكل:
<math>ax^2 + bx + c = 0\;</math>
# يتم قسمة جميع معاملات الأطراف على <math>a</math> (بما أن <math>a \ne 0</math>)
# ننقل المعامل الثابت <math>\frac{c}{a}\!</math> إلى الجانب الآخر للمعادلة (الجانب الأيمن).
# نضيف عددا يساوي <math>(\frac{b}{2a})^2\!</math> إلى الطرفين وهذا يجعل الطرف الأيسر يبدو في شكل جداء شهير.
# نكتب الطرف الأيسر على الشكل التربيعي ونبسط الطرف الأيمن إن أمكن.
# نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر بالجذر التربيعي الموجب والسالب للطرف الأيمن.
# نحل المعادلين الخطتين المشكلتين.
{{hidden
سطر 91:
}}
=== طريقة المميز ===
[[ملف:Quadratic eq discriminant.svg|thumb|يسار|250 بك|إشارة المميز]]
نعتبر المعادلة <math>ax^2 + bx + c = 0\;</math>
حيث <math> a</math>
مميز المعادلة التربيعية هو العدد <math>\Delta</math> الذي يحسب بالعلاقة:
<math>\Delta = b^2 - 4ac \;</math>
تحسب قيمة جذور المعادلة استنادا إلى قيمة المميز <math>\Delta</math>:
* إذا كان <math>(\Delta > 0) </math> ، فالمعادلة لها حلان [[عدد حقيقي|حقيقيان]] مختلفان:
<center><math> x_1 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{,}\quad x_2 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}</math></center>
* إذا كان <math>(\Delta = 0)</math>، فالمعادلة لها حل [[عدد حقيقي|حقيقي]] واحد مضاعف:
<center><math> x_1=x_2 = -\frac b{2a}\; </math></center>
* إذا كان <math>(\Delta <0) </math> فالمعادلة ليس لها حلول [[عدد حقيقي|حقيقة]]، بل لها حلان [[عدد مركب|مركبان]].
=== طريقة الرسم البياني ===
[[ملف:Polynomialdeg2.svg|thumb|يسار|250 بك|أي دالة تربيعية لها شكل [[قطع مكافىء]]، الدالة أعلاه هي<span style="font-size:100%;"> ''f'' </span>(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2 = (''x'' + 1)(''x'' − 2) يتقاطع منحناها مع محور الفواصل في نقطتين هما ''x'' = −1 and ''x'' = 2، تمثل هاتان النقطتان حلي المعادلة التربيعية ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2 = 0]]
سطر 116:
جميع الدوال التربيعية لها شكل عام متشابه يسمى [[قطع مكافىء|القطع المكافىء]]، موقع وحجم المقطع يرتبط بالقيم <math> a</math> ، <math> b</math> ، <math> c</math>.
إذا كان
فاصلة النقطة الأعظية (سواء كبرى أو صغرى) هي النقطة <math> x= -\frac b{2a}\; </math>، أما ترتيبتها فنحصل عليها بتعويض قيمة <math>x</math> في عبارة الدالة.
| |||