زمرة (رياضيات): الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
وسمان: تحرير من المحمول تعديل ويب محمول |
|||
سطر 303:
وتكفل أولية العدد <math>p</math> أنه إذا ضُرِب عددان صحيحان لا يقبلان القسمة على <math>p</math>، لن يقبل حاصل الضرب القسمة على <math>p</math> أيضًا، وبالتالي فإن مجموعة الأصناف المُشار إليها مغلَقة تحت الضرب.{{cref|17}} والعنصر المحايد هو 1 كما هو معتاد لأي زمرة ضربية، وتنتج التجميعية عن الخاصية المناظرة في الأعداد الصحيحة. وأخيرًا تتطلب بديهية العنصر المعاكس أنه بإعطاء العدد الصحيح <math>a</math> الذي لا يقبل القسمة على <math>p</math>، يوجد عدد صحيح <math>b</math> بحيث يكون
:<math>a \cdot b \equiv 1 (\bmod\,p)</math>، أي أن <math>p</math> تقسم الفرق <math>a \cdot b - 1</math>.
ويمكن إيجاد المعاكس <math>b</math> باستخدام [[متطابقة بوزو]] وحقيقة أن [[القاسم المشترك الأكبر]] <math>\gcd(a, p)</math> يساوي 1.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = روزن|year = 2000|loc = ص 54 (المبرهنة 2.1)}}</ref> وفي حالة <math>p = 5</math> أعلاه، يكون معاكس 4 هو 4، ومعاكس 3 هو 2؛ لأن <math>3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 (\bmod\,5)</math>. وبالتالي فإن كل بديهيات الزمر محقَّقة. إن هذا المثال في الواقع مشابه لمثال <math>(\mathbb{Q\!}\backslash\{0\}, \cdot)</math> أعلاه؛ فهو يتكون بالضبط من تلك العناصر في <math>\mathbb{Z\!}/p\mathbb{Z\!}</math> التي تملك معاكسًا ضربيًّا.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = لانغ|year = 2005|loc = القسم VIII.1، ص 292}}</ref> يُرمَز لتلك الزمر بالرمز <math>\mathbb{F\!}_p^{\times}</math>. وهي بالغة الأهمية في [[التشفير باستخدام المفتاح المعلن]].{{cref|18}}
=== الزمر الدائرية ===
| |||