ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين

تم إضافة 52 بايت ، ‏ قبل 5 سنوات
ط
== معادلات لاغرانج ==
 
لنعتبر جسيما مفردا ذو [[كتلة]] ''m'' وشعاع موضع '''r'''. تطبق عليه قوة '''F'''، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذا النظام بجسيم يتحرك في [[جسيم في صندوق|بئر جهدي]] فتكون له [[طاقة حركة]] و أيضا [[طاقة الوضع|طاقة وضع]] . نفترض أن الجهد المؤثر على الجسيم (''V''('''r''', ''t'' دالة تعتمد على الزمن t و المكان '''r''' (مثل جهد [[نواة الذرة]] التي تؤثر على إلكترون يدور حولها) :
 
:<math>\mathbf{F} = - \nabla V.</math>
 
مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع '''r'''، لذا فإن قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث [[معادلات تفاضلية نظامية]] من الرتبة الثانية.
 
وبناء على ذلك يمكن وصف حركة هذا الجسيم بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى " درجات حرية ". درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :
 
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3},
(''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub>).
 
بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة ، ''q''<sub>''j''</sub>, مع مشتقاتها الزمنية، أو ما يدعى بالسرعات المعممة، ''q''′<sub>''j''</sub>.
 
يرتبط متجه الموضع '''r''' مع '''الإحداثيات المعممة''' عن طريق جملة '''معادلات تحويل'''
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t)</math>.
 
فمثلاً عند التعامل مع بندول (نواس) بسيط ذو طول ''l''، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية البندول التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ,
 
وتكون معادلات التحويل :
عملياً من الأسهل حل المسألة ياستخدام [[معادلة اويلر-لاغرانج]] بدلاً من قوانين نيوتن. ذلك لأن الإحداثيات المعممة ''q''<sub>i</sub> يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام.
 
== انظر أيضا ==
* [[تحويل لاغرانج]]
* [[معادلة هاميلتون]]
 
{{هامش-فيزياء}}
 
[[تصنيف:أنظمة حركية]]
[[تصنيف:طرق رياضية وكمية (اقتصاد)]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:ميكانيكا]]
[[تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية]]
 
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:أنظمة حركية]]
[[he:מכניקה אנליטית]]
2٬108٬508

تعديل