ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين

تم إضافة 61 بايت ، ‏ قبل 5 سنوات
ط (تدقيق إملائي يستهدف ألف التنوين (المزيد))
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3},
 
المركبات الديكارتية لشعاعلمتجه الموضع '''r''' ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :
((''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub>)).
 
بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة ، ''q''<sub>''j''</sub>, مع مشتقاتها الزمنية، أو ما يدعى بالسرعبالسرعات معممة،المعممة، ''q''′<sub>''j''</sub>.
 
يرتبط شعاعمتجه الموضع '''r''' مع '''الإحداثيات المعممة''' عن طريق جملة '''معادلات تحويل'''
 
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t)</math>.
 
فمثلافمثلاً منعند أجلالتعامل مع بندول (نواس) بسيط ذو طول ''l''، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية النواسالبندول التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ,
 
وتكون معادلات التحويل :
مصطلح ''إحداثيات معممة '' أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.
 
لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δ'''r''' فيكون العملالشغل المنجزالمبذول من قبل القوة '''F''' هو :
 
δW = '''F''' · δ'''r'''.
\end{matrix}</math>
 
بما أن العملالشغل كمية فيزيائية قياسية (كمية وليست شعاعيةمتجهه) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة والسرعوالسرعات على الجانب الأيسر.
 
:<math>
</math>
 
حيث هي الطاقة الحركية للجسيم ''T'' = 1/2 ''m'' r′ <sup>2</sup>. ومعادلة العملالشغل المنجزالمبذول ستصبح بالشكل :
 
:<math>
</math>
 
على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحاصحيحاً بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δ''q''<sub>i</sub>, لذا يكون لدينا :
 
:<math>
من أجل أي من الإحداثيات المعممة δ''q''<sub>i</sub>.
 
يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة ''V'' أن هو تابع ل '''r''' و''t'', وشعاعومتجه الموضع '''r''' تابع أيضاأيضاً للإحداثيات المعممة والزمن ''t''
لذا فإن الطاقة الكامنة ''V'' تكون مستقلة عن السرعالسرعات المعممة
 
:<math>
 
بإدخال هذا في المعادلة السابقة واستبدال ''L'' = ''T'' - ''V''
نحصل على معادلات لاغرانجلاجرانج :
 
:<math>
</math>
 
هناك دومادوماً معادلة لاغرانجلاجرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q<sub>i</sub>. وعندما يكون
q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية), عندئذ نستطيع بسهولة اختزالإختزال معادلة لاغرانجلاجرانج إلى قانون نيوتن الثاني.
 
الاشتقاقالإشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من ''N'' جسيم. عندئذ يكون هناك 6''N'' إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3''N''. في معادلات لاغرانجلاجرانج 3''N'' يكون دومادوماً ''T'' هو الطاقة الحركية الكلية للجملة، و''V'' الطاقة الكامنة الكلية.
 
عملياعملياً من الأسهل حل المسألة ياستخدام [[معادلة اويلر-لاغرانج]] بدلابدلاً من قوانين نيوتن. ذلك لأن الإحداثيات المعممة ''q''<sub>i</sub> يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام.
 
==انظر أيضا==