0.999...: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
لا ملخص تعديل |
Alramahi0Bot (نقاش | مساهمات) ط تدقيق إملائي |
||
سطر 3:
في [[رياضيات|الرياضيات]]، [[التكرار العشري]] '''...0.999''' (يكتب في بعض الأحيان مع عدد أكثر أو أقل من التسعات قبل القطع النهائي، أو '''0.<span style="text-decoration: overline;">9</span>'''، أو '''(9).0'''، أو {{nowrap|<math alt="0.9 with dot over the 9" style="position:relative;top:-.3em">\scriptstyle\mathbf{0}.\mathbf{\dot{9}}</math>}}) هو [[عدد حقيقي]] يساوي [[1 (عدد)|رقم واحد]]. وبعبارة أخرى، فإن رموز "...0.999" و "1" يمثلان نفس العدد. وقد وضِعت البراهين على هذه المساواة مع درجات متفاوتة من الصرامة الرياضية، مع مراعاة تقريب الأرقام الحقيقية، والافتراضات الاساسية، السياق التاريخي، والجمهور المستهدف.
ماعدا الصفر، فإن كل الأعداد المُنتهية عشرياً لديها توأم مساواي لها متمثل بالعدد المتكرر عشريا من التسعات (على سبيل المثال، 8.32 و ...8.31999). المساواة بين ...0.999 و 1 يرتبط إرتباطاً وثيقا بغياب [[موحل في الصغر|العدد الموحل في الصغر]] في نظام العدد الحقيقي. مع وجود أنظمة عددية اخرى مثل [[عدد حقيقي فائق|الأعداد الحقيقية الفائقة]] تشابه نظام العدد الحقيقة في عدم احتوائها على العدد الموحل في الصغر. في مثل هذه الانطة العددية (والتي تمثل معظك انظمة [[التحليل الرياضي]]) فان العدد ...0.999 يُعبر عنه على انه مساوي ل1، ولكن في الانظمة العددية الاخرى، رمز "...0.999" يأخذ تعريفاً آخر حيث الرقم ذو العدد الغير متناهي من التسعات يخفق في الوصول
تم قبول المساواة بين ...0.999 = 1 من قبل الرياضيين وأصبح جزءاً من التعليم الرياضي العام. لكن على الرغم من ذلك، تجد بعض الطلاب لاستغراب المساواة أو رفضها، وعادة ما تكون هناك صعوبة في إقناعهم بصحة هذه المساواة لذا فهي موضوع العديد من الدراسات في تعليم الرياضيات.
سطر 21:
==== التلاعب بالارقام ====
عندما يتم ضرب عدد عشري بنسبة 10، فان الأرقام لاتتغير وإنما يتحرك كل رقم مرتبة واحدة إلى اليسار. وبالتالي 10 × ...0.999 يساوي ...9.999، والذي هو أكبر ب 9 مرات من العدد الأصلي. يتم
:<math>
سطر 47:
:<math>b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1\left({\tfrac{1}{10}}\right) + b_2\left({\tfrac{1}{10}}\right)^2 + b_3\left({\tfrac{1}{10}}\right)^3 + b_4\left({\tfrac{1}{10}}\right)^4 + \cdots .</math>
بالنسبة ...0.999 فانه يمكن
إذا كان <math>1 > |r|</math>
سطر 56:
ظهر هذا الإثبات على يد [[ليونهارت أويلر]] عام 1970م ي كتابه [[عناصر من الجبر]].<ref>Euler p. 170</ref>
[[ملف:Base4 333.svg|تصغير|خط الأعداد لكسور الرقم 4 (.3, .33, .333, ...) تتقارب
[[المتتالية]] (x2, x1, x0, ...) لها [[نهاية متتالية]] x إذا كانت المساقة |x-xn| تصغر كلما زاد n، لذا فان ...0.999=1 يمكن ان تفسر نفسها وتثبت كالتي:<ref>The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) ''Thomas' Calculus: Early Transcendentals'' 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).</ref>
:<math>0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math>
الخطوة الأخيرة الـ{{frac|1|10<sup>''n''</sup>}}
=== فترات متداخلة وأقل الحدود العليا ===
[[ملف:999 Intervals C.svg|تصغير|فترات متداخلة:1 = ...1.000 = ...0.222]]
إذا كان الرقم الحقيقي x يقع في الفترة المغلقة [0, 10] (يعني ان الرقم يساوي او
:<math>x = b_0.b_1b_2b_3 \dots.</math>
بهذه الطريقة فان تعريف 1=..0.999 و 1=1.000 يعكسان على التوالي حقيقة ان 1 يقع في كلا الفترتين [0, 1] و [1, 2]، لذا فان للمرء ان يختار اي من هذين القترتين لإيجاد ارقامها. للتأكد بان هذا الترميز لا يفشل علامة التساوي "="، فإننا نحتاج لطريقة لإعادة بناء رقم مميز وحقيقي لكل رقم عشري. يمكن تحقيق ذلك باستعمال [[نهاية (رياضيات)|الحدود]] "limits".<ref>Beals p. 22; I. Stewart p. 34</ref>
سطر 78:
تعمل المناهج على تعريف الأعداد الحقيقية باعتبارها مبنية على [[الأعداد الكسرية]]. [[الأعداد الطبيعية]] (0، 1، 2، ...) تبدأ من 0 وتسمر للاعلى بحيث يكون لكل عدد رقم سابق "successor". الآن يمكنا ان نوسع الأعداد الطبيعية لجعلها تشمل أقرانها من الأرقام السالبة وبذلك نحصل على [[الأعداد الصحيحة]]. ولنقوم بتوسيع أكبر بحيث تشمل الأرقام الكسرية. أعداد النظام هذه مرتبطة ببعضها بالعمليات الحسابية [[الضرب]]، [[القسمة]]، [[الجمع]]، [[الطرح]]. إذن فان هذه الاعداد تتضمن ترتيب ونظام بحيث يمكن مقارنة رقم بآخر ونجد بانه أقل او أكثر او مساوي له.
الخطوة الكبيرة من الكسرية
=== حد ديديكايند ===
سطر 114:
* في نظام [[الرقم المضروب]] "factorial number system" فإن: 1 = ...1.000 = ...0.1234.
==
كل تلك الأنظمة العددية المذكورة أعلاه لها أكثر من تمثيل لبعض الأعداد الحقيقية ويُعزا ذلك للأختلاف الأساسي بين الأعداد الحقيقية كمجموعة مرتبة وكمجموعة مكونة من سلاسل لاحصر لها من الأرقام.
| |||