كسر مستمر: الفرق بين النسختين

تم إزالة 79 بايت ، ‏ قبل 8 سنوات
ط
لا يوجد ملخص تحرير
ط
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
 
حيث ''a''<sub>0</sub> [[عدد صحيح]] والاعداد ''(a''<sub>''i''</sub> (''i'' ≠ 0) هي أعداد ''موجبة''. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
 
إذا سمحسُمح لكل '''بسط جزئي''' و'''مقام جزئي''' أن تفرضيأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالدوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج [[كسر مستمر معمم|كسرا مستمرا معمما]].
 
== تحفيز ==
الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت [[عدد حقيقي|للأعداد الحقيقية]].
 
الكثير يعلم عن [[التمثيل العشري]] للأرقامللأعداد العشرية والتي تعرف بالعلاقة:
 
:<math>r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i},</math>
 
حيث ''a''<sub>0</sub> عدد صحيح، وكل ''a''<sub>''i''</sub> اخرآخر هو عنصر في {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد [[باي]] π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (''a''<sub>''i''</sub>) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).
 
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من [[عدد نسبي|الأعداد النسبية]] تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
:<math>\tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, \dots]\,\!.</math>
 
اذاإذا كانت (''I''<sub>''n''</sub>(''x'') هي،هي [[دالة بسل]] المعدلة من النوع الأولالأول، فإنه يمكننايمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية ''p''/''q''
 
:<math>S(p/q) = \frac{I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)},</math>
 
تسمى بالانجليزية Continued Fractions و بالفرنسية Les Fractions continues.
 
<div class="thumb tleft">
</div>
 
الكسور المتصلةالمستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل [[الأعداد الحقيقية]].
 
أغلب الناس يعرفون التمثيل العشري للأعداد الحقيقية و تكتب على شكل :
: (...,a<sub>i</sub> = (3,1,4,1,5,9,2
 
للتمثيللتمثيل للأعدادالأعداد الحقيقية بالكسور المتصلةالمستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :
* التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المتصلةالمستمرة هو منته إذا و فقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
* لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المتصلةالمستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المتصلةالمستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.
 
[a<sub>0</sub>; a<sub>1</sub>, … a<sub>n</sub> − 1, a<sub>n</sub>] = [a<sub>0</sub>; a<sub>1</sub>, … a<sub>n − 1</sub>, a<sub>n</sub> − 1, 1]
 
* لكل [[عدد غير جذري]]، تمثيل وحيد بالكسور المتصلةالمستمرة.
 
== انظر أيضا ==