عدد التعديلات للمستخدم (user_editcount) | 1337 |
اسم حساب المستخدم (user_name) | 'إيناس علي' |
عمر حساب المستخدم (user_age) | 11060391 |
المجموعات (متضمنة غير المباشرة) التي المستخدم فيها (user_groups) | [
0 => '*',
1 => 'user',
2 => 'autoconfirmed'
] |
المجموعات العامة التي ينتمي إليها الحساب (global_user_groups) | [] |
ما إذا كان المستخدم يعدل من تطبيق المحمول (user_app) | false |
ما إذا كان المستخدم يعدل عبر واجهة المحمول (user_mobile) | false |
هوية الصفحة (page_id) | 2531421 |
نطاق الصفحة (page_namespace) | 0 |
عنوان الصفحة (بدون نطاق) (page_title) | 'مبرهنة ليندمان-فايرشتراس' |
عنوان الصفحة الكامل (page_prefixedtitle) | 'مبرهنة ليندمان-فايرشتراس' |
آخر عشرة مساهمين في الصفحة (page_recent_contributors) | [
0 => 'Meno25',
1 => 'JarBot',
2 => 'محمد مختاري',
3 => 'Abdeldjalil09',
4 => 'Tifratin',
5 => 'Mr.Ibrahembot',
6 => 'ASammourBot',
7 => 'ZkBot',
8 => 'MaraBot',
9 => 'SHBot'
] |
عمر الصفحة (بالثواني) (page_age) | 198592958 |
فعل (action) | 'edit' |
ملخص التعديل/السبب (summary) | 'اقتراحات الروابط: 2 مقبولة، 0 مرفوضة، 0 مُتخطَّاة.' |
نموذج المحتوى القديم (old_content_model) | 'wikitext' |
نموذج المحتوى الجديد (new_content_model) | 'wikitext' |
نص الويكي القديم للصفحة، قبل التعديل (old_wikitext) | '{{رسالة توضيح|مبرهنة ليندمان فايرستراس|مبرهنة فايرستراس (توضيح)}}{{شريط جانبي الثابت باي}}
في [[الرياضيات]]، '''مبرهنة ليندمان-فايرشتراس''' {{إنج|Lindemann–Weierstrass theorem}} هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات [[عدد متسام|تسامي]] عدد ما من عدمه.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | عنوان = معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821202438/http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019 }}</ref>
سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات [[فيردينوند فون ليندمان]] و [[كارل فايرشتراس]].
== البرهان ==
ظهر أول برهان على تسامي العدد <nowiki/>[[عدد نيبيري|e]] سنة <nowiki/>[[1873]]. سنتبع هنا طريقة <nowiki/>[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]] - <nowiki/>[[1943]]) والذي بسط البرهان الأصلي <nowiki/>[[تشارلز هيرمت|لتشارلز هيرمت]]. الفكرة هي كالتالي:
نفترض أن العدد <nowiki/>[[E]] هو <nowiki/>[[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,</math>
بحيث يكون كلا العددان <math>c_0</math> و<math>c_n</math> مخالفين للصفر.
نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
نضرب [[طرفي المعادلة]] بـ <math>\int^{\infty}_{0}\,</math>، في حين سنستعمل الترميز التالي <math>\int^{b}_{a}\,</math> كاختصار <nowiki/>[[تكامل|للتكامل]]:
: <math>\int^{b}_{a} =\int^{b}_{a}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,</math>.
سنصل إلى المعادلة:
: <math>c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0} = 0\,</math>
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
: <math>P_{1}+P_{2}=0\,</math>
حيث
: <math>P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,</math>
: <math>P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,</math>
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.
والسبب في أن <math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,</math>
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق <nowiki/>[[تكامل بالأجزاء|مكاملة بالأجزاء]].
ولكي نبرهن على أن:
: <math>\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1\,</math> من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن <math>x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,</math> هو جداء الدوال <math>[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k}\,</math> و<math>(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}\,</math>. وباستعمال المحد العلوي لـ <math>|x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)|\,</math> و<math>|(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}|\,</math> على المجال <math>[n,0]</math> وبما أن:
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0\,</math> لكل <nowiki/>[[عدد حقيقي]] G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.
يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
[[تصنيف:أعداد متسامية]]
[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]' |
نص الويكي الجديد للصفحة، بعد التعديل (new_wikitext) | '{{رسالة توضيح|مبرهنة ليندمان فايرستراس|مبرهنة فايرستراس (توضيح)}}{{شريط جانبي الثابت باي}}
في [[الرياضيات]]، '''مبرهنة ليندمان-فايرشتراس''' {{إنج|Lindemann–Weierstrass theorem}} هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات [[عدد متسام|تسامي]] عدد ما من عدمه.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | عنوان = معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821202438/http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019 }}</ref>
سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات [[فيردينوند فون ليندمان]] و [[كارل فايرشتراس]].
== البرهان ==
ظهر أول برهان على تسامي العدد <nowiki/>[[عدد نيبيري|e]] سنة <nowiki/>[[1873]]. سنتبع هنا طريقة <nowiki/>[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]] - <nowiki/>[[1943]]) والذي بسط البرهان الأصلي <nowiki/>[[تشارلز هيرمت|لتشارلز هيرمت]]. الفكرة هي كالتالي:
نفترض أن العدد [[E]] هو [[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد [[مجموعة منتهية]] من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,</math>
بحيث يكون كلا العددان <math>c_0</math> و<math>c_n</math> مخالفين للصفر.
نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
نضرب [[طرفي المعادلة]] بـ <math>\int^{\infty}_{0}\,</math>، في حين سنستعمل الترميز التالي <math>\int^{b}_{a}\,</math> كاختصار <nowiki/>[[تكامل|للتكامل]]:
: <math>\int^{b}_{a} =\int^{b}_{a}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,</math>.
سنصل إلى المعادلة:
: <math>c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0} = 0\,</math>
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
: <math>P_{1}+P_{2}=0\,</math>
حيث
: <math>P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,</math>
: <math>P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,</math>
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو [[عدد صحيح]] يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.
والسبب في أن <math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,</math>
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق <nowiki/>[[تكامل بالأجزاء|مكاملة بالأجزاء]].
ولكي نبرهن على أن:
: <math>\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1\,</math> من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن <math>x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,</math> هو جداء الدوال <math>[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k}\,</math> و<math>(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}\,</math>. وباستعمال المحد العلوي لـ <math>|x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)|\,</math> و<math>|(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}|\,</math> على المجال <math>[n,0]</math> وبما أن:
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0\,</math> لكل <nowiki/>[[عدد حقيقي]] G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.
يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
[[تصنيف:أعداد متسامية]]
[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]' |
فرق موحد للتغييرات المصنوعة بواسطة التعديل (edit_diff) | '@@ -8,5 +8,5 @@
ظهر أول برهان على تسامي العدد <nowiki/>[[عدد نيبيري|e]] سنة <nowiki/>[[1873]]. سنتبع هنا طريقة <nowiki/>[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]] - <nowiki/>[[1943]]) والذي بسط البرهان الأصلي <nowiki/>[[تشارلز هيرمت|لتشارلز هيرمت]]. الفكرة هي كالتالي:
-نفترض أن العدد <nowiki/>[[E]] هو <nowiki/>[[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
+نفترض أن العدد [[E]] هو [[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد [[مجموعة منتهية]] من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,</math>
بحيث يكون كلا العددان <math>c_0</math> و<math>c_n</math> مخالفين للصفر.
@@ -23,5 +23,5 @@
: <math>P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,</math>
: <math>P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,</math>
-الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.
+الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو [[عدد صحيح]] يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.
والسبب في أن <math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
' |
حجم الصفحة الجديد (new_size) | 4628 |
حجم الصفحة القديم (old_size) | 4638 |
الحجم المتغير في التعديل (edit_delta) | -10 |
السطور المضافة في التعديل (added_lines) | [
0 => 'نفترض أن العدد [[E]] هو [[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد [[مجموعة منتهية]] من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:',
1 => 'الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو [[عدد صحيح]] يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.'
] |
السطور المزالة في التعديل (removed_lines) | [
0 => 'نفترض أن العدد <nowiki/>[[E]] هو <nowiki/>[[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:',
1 => 'الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.'
] |
نص الصفحة الجديد، مجردا من أية تهيئة (new_text) | ' هذه المقالة عن مبرهنة ليندمان فايرستراس. لتصفح عناوين مشابهة، انظر مبرهنة فايرستراس (توضيح).جزء من سلسلة مقالات حولالثابت الرياضي π
الاستعمالات
مساحة القرص
المحيط
صيغ أخرى
الخواص
لا نسبية
عدد متسام
القيمة
تقريبات
تذكّر
أقل من 22/7
أشخاص
أرشميدس
ليو هوي
زو تشونغزي
أريابهاتا
مادهافا السنغماراي
لودولف فان ساولن
سيكي تاكاكازو
تاكيبي كينكو
ويليام جونز
جون ماكن
ويليام شانكس
جون رنش
الإخوان شودنوفسكي
ياسوماسا كانادا
تاريخ
تسلسل زمني
كتاب
متعلقاتمتعلقات:
تربيع الدائرة
معضلة بازل
نقطة فينمان
أخرى
بوابة هندسة رياضيةعنت
في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem) هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.[1]
سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.
البرهان[عدل]
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:
نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة
c
0
,
c
1
,
…
,
c
n
{\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}
التي تحقق المعادلة:
c
0
+
c
1
e
+
c
2
e
2
+
⋯
+
c
n
e
n
=
0
{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}
بحيث يكون كلا العددان
c
0
{\displaystyle c_{0}}
و
c
n
{\displaystyle c_{n}}
مخالفين للصفر.
نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
نضرب طرفي المعادلة بـ
∫
0
∞
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}
، في حين سنستعمل الترميز التالي
∫
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}\,}
كاختصار للتكامل:
∫
a
b
=
∫
a
b
x
k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
]
k
+
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}
.
سنصل إلى المعادلة:
c
0
∫
0
∞
+
c
1
e
∫
0
∞
+
⋯
+
c
n
e
n
∫
0
∞
=
0
{\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
P
1
+
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}
حيث
P
1
=
c
0
∫
0
∞
+
c
1
e
∫
1
∞
+
c
2
e
2
∫
2
∞
+
⋯
+
c
n
e
n
∫
n
∞
{\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}
P
2
=
c
1
e
∫
0
1
+
c
2
e
2
∫
0
2
+
⋯
+
c
n
e
n
∫
0
n
{\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :
P
1
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}
هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد
P
2
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}
ليس كذلك.
والسبب في أن
P
1
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}
عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
∫
0
∞
x
j
e
−
x
d
x
=
j
!
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.
ولكي نبرهن على أن:
|
P
2
k
!
|
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}
من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن
x
k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
]
k
+
1
e
−
x
{\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}
هو جداء الدوال
[
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
]
k
{\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}
و
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
e
−
x
{\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}
. وباستعمال المحد العلوي لـ
|
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
|
{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}
و
|
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
e
−
x
|
{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}
على المجال
[
n
,
0
]
{\displaystyle [n,0]}
وبما أن:
lim
k
→
∞
G
k
k
!
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}
لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.
يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
مراجع[عدل]
^ "معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة).mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:12px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}
بوابة رياضيات' |
مصدر HTML المعروض للمراجعة الجديدة (new_html) | '<div class="mw-parser-output"><div><div class="إعلام dablink" style=""><div class="صورة" style="display:inline"></div> <div style="display:inline"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Disambigua_compass.svg" class="image"><img alt="Disambigua compass.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Disambigua_compass.svg/20px-Disambigua_compass.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Disambigua_compass.svg/30px-Disambigua_compass.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Disambigua_compass.svg/40px-Disambigua_compass.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a> هذه المقالة عن <span class="m">مبرهنة ليندمان فايرستراس</span>. لتصفح عناوين مشابهة، انظر <span class="m"><a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D9%81%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%B3%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3_(%D8%AA%D9%88%D8%B6%D9%8A%D8%AD)" class="mw-redirect mw-disambig" title="مبرهنة فايرستراس (توضيح)">مبرهنة فايرستراس (توضيح)</a></span>.</div></div></div><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:left;clear:left;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><td style="padding-top:0.4em;line-height:1.2em">جزء من <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%A8%D8%A7%D9%8A" title="تصنيف:باي">سلسلة مقالات</a> حول</td></tr><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;padding-top:0;font-size:145%;line-height:1.2em"><b><a href="/wiki/%D8%B7_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="ط (رياضيات)">الثابت الرياضي π</a></b></th></tr><tr><td style="padding:0.2em 0 0.4em"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:PI_constant.svg" class="image"><img alt="PI constant.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/PI_constant.svg/200px-PI_constant.svg.png" decoding="async" width="200" height="40" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/PI_constant.svg/300px-PI_constant.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/PI_constant.svg/400px-PI_constant.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="60" /></a></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">الاستعمالات</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;">
<ul><li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%AD%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%B5" class="mw-redirect" title="مساحة القرص">مساحة القرص</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%85%D8%AD%D9%8A%D8%B7" title="محيط">المحيط</a>
<ul><li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B5%D9%8A%D8%BA_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AD%D8%AA%D9%88%D9%8A%D8%A9_%D8%B7" title="قائمة الصيغ المحتوية ط">صيغ أخرى</a></li></ul></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">الخواص</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;">
<ul><li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A8%D8%B1%D9%87%D8%A7%D9%86_%D8%B9%D9%84%D9%89_%D8%A3%D9%86_%D8%A8%D8%A7%D9%8A_%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%BA%D9%8A%D8%B1_%D9%83%D8%B3%D8%B1%D9%8A" title="البرهان على أن باي عدد غير كسري">لا نسبية</a></li>
<li><a class="mw-selflink selflink">عدد متسام</a></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">القيمة</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;">
<ul><li><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%82%D8%B1%D9%8A%D8%A8%D8%A7%D8%AA_%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D9%8A%D8%A9_%D9%84%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%CF%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="تقريبات عددية لحساب π (الصفحة غير موجودة)">تقريبات</a></li>
<li><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%B0%D9%83%D8%B1_%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="تذكر رقمي (الصفحة غير موجودة)">تذكّر</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%A5%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA_%D8%A3%D9%86_22/7_%D8%A3%D9%83%D8%A8%D8%B1_%D9%85%D9%86_%CF%80" title="إثبات أن 22/7 أكبر من π">أقل من 22/7</a></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">أشخاص</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;">
<ul><li><a href="/wiki/%D8%A3%D8%B1%D8%AE%D9%85%D9%8A%D8%AF%D8%B3" title="أرخميدس">أرشميدس</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%84%D9%8A%D9%88_%D9%87%D9%88%D9%8A" title="ليو هوي">ليو هوي</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%B2%D9%88_%D8%AA%D8%B4%D9%88%D9%86%D8%BA%D8%B2%D9%8A" title="زو تشونغزي">زو تشونغزي</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%A3%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%A8%D9%87%D8%A7%D8%AA%D8%A7" title="أريابهاتا">أريابهاتا</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AF%D9%87%D8%A7%D9%81%D8%A7_%D9%85%D9%86_%D8%B3%D8%A7%D9%86%D8%BA%D9%85%D8%A7%D8%BA%D8%B1%D8%A7%D9%85%D8%A7" title="مادهافا من سانغماغراما">مادهافا السنغماراي</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%84%D9%88%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%81_%D9%81%D8%A7%D9%86_%D8%B3%D8%A7%D9%88%D9%84%D9%86" title="لودولف فان ساولن">لودولف فان ساولن</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%B3%D9%8A%D9%83%D9%8A_%D8%AA%D8%A7%D9%83%D8%A7%D9%83%D8%A7%D8%B2%D9%88" title="سيكي تاكاكازو">سيكي تاكاكازو</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A_%D9%83%D9%8A%D9%86%D9%83%D9%88" title="تاكيبي كينكو">تاكيبي كينكو</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%88%D9%84%D9%8A%D9%85_%D8%AC%D9%88%D9%86%D8%B2_(%D8%B9%D8%A7%D9%84%D9%85_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="وليم جونز (عالم رياضيات)">ويليام جونز</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D9%86_%D9%85%D8%A7%D9%83%D9%86" title="جون ماكن">جون ماكن</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85_%D8%B4%D8%A7%D9%86%D9%83%D8%B3" title="ويليام شانكس">ويليام شانكس</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D9%86_%D8%B1%D9%86%D8%B4" title="جون رنش">جون رنش</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AE%D9%88%D8%A7%D9%86_%D8%B4%D9%88%D8%AF%D9%86%D9%88%D9%81%D8%B3%D9%83%D9%8A" title="الإخوان شودنوفسكي">الإخوان شودنوفسكي</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%8A%D8%A7%D8%B3%D9%88%D9%85%D8%A7%D8%B3%D8%A7_%D9%83%D8%A7%D9%86%D8%A7%D8%AF%D8%A7" title="ياسوماسا كانادا">ياسوماسا كانادا</a></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">تاريخ</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;">
<ul><li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%B3%D9%84%D8%B3%D9%84_%D8%B2%D9%85%D9%86%D9%8A_%D9%84%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%B7" title="تسلسل زمني لحساب ط">تسلسل زمني</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AE_%D8%B7" title="تاريخ ط">كتاب</a></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em">
<div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:right;padding-bottom:0; text-align:center;">متعلقات</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;padding-top:0;"><b>متعلقات:</b>
<ul><li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%B1%D8%A8%D9%8A%D8%B9_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9" title="تربيع الدائرة">تربيع الدائرة</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B6%D9%84%D8%A9_%D8%A8%D8%A7%D8%B2%D9%84" title="معضلة بازل">معضلة بازل</a></li>
<li><a href="/wiki/%D9%86%D9%82%D8%B7%D8%A9_%D9%81%D9%8A%D9%86%D9%85%D8%A7%D9%86" title="نقطة فينمان">نقطة فينمان</a></li>
<li><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%B9_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D9%84%D9%82%D8%A9_%D8%A8%CF%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="قائمة مواضيع متعلقة بπ (الصفحة غير موجودة)">أخرى</a></li></ul></div></div></td>
</tr><tr><td class="plainlist" style="padding:0.3em 0.4em 0.3em;font-weight:bold;border-top: 1px solid #aaa; border-bottom: 1px solid #aaa;">
<ul><li><span class="metadata"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Crystal_Clear_app_3d.png" class="image"><img alt="شعار بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Crystal_Clear_app_3d.png/16px-Crystal_Clear_app_3d.png" decoding="async" width="16" height="16" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Crystal_Clear_app_3d.png/24px-Crystal_Clear_app_3d.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Crystal_Clear_app_3d.png/32px-Crystal_Clear_app_3d.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></li></ul>
<a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9" title="بوابة:هندسة رياضية">بوابة هندسة رياضية</a></td></tr><tr><td style="text-align:left;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-عرض"><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D9%84%D8%A8:%D8%B4%D8%B1%D9%8A%D8%B7_%D8%AC%D8%A7%D9%86%D8%A8%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA_%D8%A8%D8%A7%D9%8A" title="قالب:شريط جانبي الثابت باي"><abbr title="عرض هذا القالب">ع</abbr></a></li><li class="nv-ناقش"><a href="/w/index.php?title=%D9%86%D9%82%D8%A7%D8%B4_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%A7%D9%84%D8%A8:%D8%B4%D8%B1%D9%8A%D8%B7_%D8%AC%D8%A7%D9%86%D8%A8%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA_%D8%A8%D8%A7%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="نقاش القالب:شريط جانبي الثابت باي (الصفحة غير موجودة)"><abbr title="ناقش هذا القالب">ن</abbr></a></li><li class="nv-عدل"><a class="external text" href="https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%82%D8%A7%D9%84%D8%A8:%D8%B4%D8%B1%D9%8A%D8%B7_%D8%AC%D8%A7%D9%86%D8%A8%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA_%D8%A8%D8%A7%D9%8A&action=edit"><abbr title="عدل هذا القالب">ت</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table>
<p>في <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect" title="الرياضيات">الرياضيات</a>، <b>مبرهنة ليندمان-فايرشتراس</b> (<a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%84%D8%BA%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%86%D8%AC%D9%84%D9%8A%D8%B2%D9%8A%D8%A9" title="اللغة الإنجليزية">بالإنجليزية</a>: <span class="mw-content-ltr" lang="en">Lindemann–Weierstrass theorem</span>) هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%85%D8%AA%D8%B3%D8%A7%D9%85" title="عدد متسام">تسامي</a> عدد ما من عدمه.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup>
</p><p>سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات <a href="/wiki/%D9%81%D9%8A%D8%B1%D8%AF%D9%8A%D9%86%D9%88%D9%86%D8%AF_%D9%81%D9%88%D9%86_%D9%84%D9%8A%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%A7%D9%86" title="فيردينوند فون ليندمان">فيردينوند فون ليندمان</a> و <a href="/wiki/%D9%83%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%81%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%B4%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3" title="كارل فايرشتراس">كارل فايرشتراس</a>.
</p>
<h2><span id=".D8.A7.D9.84.D8.A8.D8.B1.D9.87.D8.A7.D9.86"></span><span class="mw-headline" id="البرهان">البرهان</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D9%84%D9%8A%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%A7%D9%86-%D9%81%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%B4%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3&action=edit&section=1" title="عدل القسم: البرهان">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>ظهر أول برهان على تسامي العدد <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%86%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%B1%D9%8A" class="mw-redirect" title="عدد نيبيري">e</a> سنة <a href="/wiki/1873" title="1873">1873</a>. سنتبع هنا طريقة <a href="/wiki/%D8%AF%D9%8A%D9%81%D9%8A%D8%AF_%D9%87%D9%8A%D9%84%D8%A8%D8%B1%D8%AA" title="ديفيد هيلبرت">ديفيد هيلبرت</a> (<a href="/wiki/1862" title="1862">1862</a> - <a href="/wiki/1943" title="1943">1943</a>) والذي بسط البرهان الأصلي <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B4%D8%A7%D8%B1%D9%84%D8%B2_%D9%87%D9%8A%D8%B1%D9%85%D8%AA" class="mw-redirect" title="تشارلز هيرمت">لتشارلز هيرمت</a>. الفكرة هي كالتالي:
</p><p>نفترض أن العدد <a href="/wiki/E" title="E">E</a> هو <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AC%D8%A8%D8%B1%D9%8A" title="عدد جبري">عدد جبري</a>، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد <a href="/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D8%A9_%D9%85%D9%86%D8%AA%D9%87%D9%8A%D8%A9" title="مجموعة منتهية">مجموعة منتهية</a> من المعاملات الصحيحة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<mo>…<!-- … --></mo>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5a4796b084f3f132c156f5ac7e26b838295700" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.947ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}"/></span> التي تحقق المعادلة:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mi>e</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6085ca166713efb9cb36f04814b0f7c8a013a6be" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.665ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}"/></span></dd></dl>
<p>بحيث يكون كلا العددان <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1882ba8f1dc60f0c68a642abb5af093c73910921" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}}"/></span> و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7e944bcb1be88e9a6a940638f2adce0ec4211a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}}"/></span> مخالفين للصفر.
</p><p>نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
</p><p>نضرب <a href="/wiki/%D8%B7%D8%B1%D9%81%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9" class="mw-redirect" title="طرفي المعادلة">طرفي المعادلة</a> بـ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1983c1c119f8b2e5c6fe11e4bb22dda79b7d37b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:4.727ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}"/></span>، في حين سنستعمل الترميز التالي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e8190dc662b612ea5000939486f58f5b10e1a5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:3.789ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}\,}"/></span> كاختصار <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تكامل">للتكامل</a>:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msup>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8d42035431324ba437e7a955e540939c1fb4cf" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.2ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}"/></span>.</dd></dl>
<p>سنصل إلى المعادلة:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mi>e</mi>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msup>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc1568c516ef62d5c151e5cb38bbd3838a94b9e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:38.902ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}"/></span></dd></dl>
<p>والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13de7bbb9ab8ae0982d121464a561959a929225" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.581ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}"/></span></dd></dl>
<p>حيث
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mi>e</mi>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msup>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6478f96986f6b40e013f7458b5524d2116792381" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:51.407ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}"/></span></dd>
<dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mi>e</mi>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msup>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8506ac9f2d9184f6cdd9d0cefebf92fbb6041cb3" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:40.125ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}"/></span></dd></dl>
<p>الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8673bba78e047a9237a91be461de3c3f01104" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:3.77ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}"/></span> هو <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%B5%D8%AD%D9%8A%D8%AD" title="عدد صحيح">عدد صحيح</a> يخالف الصفر، في حين العدد <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255d5c7bfe0c4487c53b41b6d965be1cab0d7194" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:3.77ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}"/></span> ليس كذلك.
</p><p>والسبب في أن <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8673bba78e047a9237a91be461de3c3f01104" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:3.77ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}"/></span> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</msubsup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mi>j</mi>
<mo>!</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c673861cd226113c289ebb33b61d678bc4efe8" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.524ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}"/></span></dd></dl>
<p>وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%AC%D8%B2%D8%A7%D8%A1" class="mw-redirect" title="تكامل بالأجزاء">مكاملة بالأجزاء</a>.
</p><p>ولكي نبرهن على أن:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow>
<mo>|</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msub>
<mi>P</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mo><</mo>
<mn>1</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe514f5f4f840caf7ed9f213500694c3a747e1e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:9.324ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}"/></span> من أجل k كبير بما يكفي</dd></dl>
<p>نشير أولا إلى أن <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msup>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6874e5a5e0693a71aa152e2d706b59d1d00569" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.978ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}"/></span> هو جداء الدوال <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msup>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245391245614b9010db2e8f974904134f928618e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.254ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}"/></span> و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff05015a6b1ef32771737ef0713463502e19bec" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.077ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}"/></span>. وباستعمال المحد العلوي لـ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0da5ec33229062488c738d21c85b5678152be45" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.166ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}"/></span> و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe194a999c6f8b9d58eea2af739837734a51bec" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.37ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}"/></span> على المجال <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [n,0]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>n</mi>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [n,0]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48270c940504b9a8e32297457f711df88ab49e5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.885ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [n,0]}"/></span> وبما أن:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<munder>
<mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
<mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
</mrow>
</munder>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msup>
<mi>G</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8025b0e53b3ddceee3416df1bccc8ce2cd231534" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.929ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}"/></span> لكل <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AD%D9%82%D9%8A%D9%82%D9%8A" title="عدد حقيقي">عدد حقيقي</a> G.</dd></dl>
<p>وهذا كاف لإكمال البرهان.
</p><p>يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
</p>
<h2><span id=".D9.85.D8.B1.D8.A7.D8.AC.D8.B9"></span><span class="mw-headline" id="مراجع">مراجع</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D9%84%D9%8A%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%A7%D9%86-%D9%81%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%B4%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3&action=edit&section=2" title="عدل القسم: مراجع">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<div class="reflist"><ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190821202438/http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html">"معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com"</a>. mathworld.wolfram.com. مؤرشف من <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html">الأصل</a> في 21 أغسطس 2019.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D9%85%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85%D8%A7%D8%AA+%D8%B9%D9%86+%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9+%D9%84%D9%8A%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%A7%D9%86-%D9%88%D9%8A%D8%B1%D8%B3%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3+%D8%B9%D9%84%D9%89+%D9%85%D9%88%D9%82%D8%B9+mathworld.wolfram.com&rft.pub=mathworld.wolfram.com&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FLindemann-WeierstrassTheorem.html&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9+%D9%84%D9%8A%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%A7%D9%86-%D9%81%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%B4%D8%AA%D8%B1%D8%A7%D8%B3" class="Z3988"></span> <span class="cs1-hidden-error error citation-comment">الوسيط <code class="cs1-code">|CitationClass=</code> تم تجاهله (<a href="/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9:CS1_errors#parameter_ignored" title="مساعدة:CS1 errors">مساعدة</a>)</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r47703133">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:9px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png");background-image:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg");background-repeat:no-repeat;background-size:12px;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style></span>
</li>
</ol></div>
<ul class="bandeau-portail إعلام" id="bandeau-portail">
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="بوابة:رياضيات"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/32px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png" decoding="async" width="32" height="21" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/48px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/64px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png 2x" data-file-width="190" data-file-height="124" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="بوابة:رياضيات">بوابة رياضيات</a></span></li></ul>
' |
ما إذا كان التعديل قد تم عمله من خلال عقدة خروج تور (tor_exit_node) | false |
طابع زمن التغيير ليونكس (timestamp) | 1624966799 |
