خاصية التمام

Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة التعامل مع هذه المسألة من أجل إزالة هذا القالب.يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

قسم (عدد حقيقي)


           خاصية التمام على مجموعة الأعداد الحقيقية :

تعـــريف:

لنأخذ S مجموعة غير خالية جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية R .

أ)- المجموعة S تكون محدودة من أعلى إذا وجد عدد u ∈ R بحيث أن s ≤ u لكل S ∈ s .

وكل عدد يشبه العدد u يسمى حد علوي للمجموعة S .

ب)- المجموعة S محدودة من أسفل إذا وجد عدد w ∈ R بحيث أن w ≤ s لكل S ∈ s.

وكل عدد يشبه العدد w يسمى حد سفلي للمجموعة S .

ج)- المجموعة تسمى محدودة إذا كانت محدودة من أعلى و أسفل معاً، المجموعة تسمى غير محدودة إذا كانت غير محدودة من أعلى و أسفل معاً .

تعـــريف:

لنفرض S مجموعة غير خالية و جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.... S ≠ ø ، S ∈ R .

أ)- إذا كانت المجموعة S محدودة من أعلى فإن العدد u يكون أصغر الحدود العلوية لها "Supremum" ، إذا كان يكافئ العبارات التالية :

1)_ u يكون حد علوي للمجموعة S و u سوف يكون أكبر من أو يساوي عناصر المجموعةS .. → s ≤ u .
2)_ إذا كانت v أي حد علوي للمجوعة S فإن العدد u سيكون أصغر من أو يساوي العدد v .. → v ≥ u .

ب)- إذا كانت المجموعة S محدودة من الأسفل فإن العددw يكون أكبر الحدود السفلية لها "Infimum" ، إذا كان يكافئ العبارات التالية :

1)_ w يكون حد سفلي للمجموعة S و s ≥ w .
2)_ إذا كان t حد سفلي للمجموعة S فإن w ≥ t .

إثبات الوحدانية (( أصغر الحدود العلوية يكون وحيد إذا وجد )) :

نفرض أن :- u2 = sup S ، u1 = sup S ، u1 ≠ u2 . 1/ u1 is upper bound (u1 حد علوي : يوجد u1 ∈ R ∃ بحيث : s ≤ u1 ، لكل s ∈ S ∀ ) . 2/ If v is any upper bound ( v أي حد علوي ) .

 → u1  ≤ v
→ u1  ≤ u2

1/ u2 is upper bound (u2 حد علوي : يوجد u2 ∈ R بحيث : s ≤ u2 ، لكل s ∈ S ∀ ) . 2/ If v is any upper bound ( v أي حد علوي ) .

  u2  ≤ v→
 u2  ≤ u1→
إذاً   u1 = u2
إذاً فرضنا خاطئ و sup وحيد .
  • إذا الحد العلوي أو السفلي للمجموعة S موجود يرمز لهم على التوالي :

Sup (S) و inf (S) .

التمهيدية (1) : العددu يكون أصغر الحدود العلوية للمجموعة الغير خالية S في R فقط إذا تحقق :-

1] s ≤ u ، لكل s ∈ S ∀ .

2] إذا v ≥ u فإنه يوجد عدد š ∈ S بحيث أن š ≤ v .

التمهيدية (2) : الحد العلوي u للمجموعة الغير خالية S في R يكون أصغر الحدود العلوية لها إذا و إذا فقط لكل ɛ>0 ∀ يوجد عدد sɛ ∈ S ∃ بحيث أن u-ɛ < sɛ .

إثبات التمهيدية (2) :

u حد علوي للمجموعة S و u ≥ s ، لكل s ∈ S ∀ :

المطلوب اثبات أن :

نبدأ بالإتجاه الأول :

نفرض أن لكل ∀ ɛ>0يوجد عدد sɛ ∃ يحقق أن u-ɛ<s نريد إثبات أن : u=sup(S) .

إذاً نريد اثبات أن :

  1. u حد علوي .
  2. u أصغر الحدود العلوية .

لنفرض أن : Z < u → ɛ = u – z > 0 ヨs ∈ S : u - (u – z) < sɛ → u - u + z < sɛ

z < sɛ

إذاً u ليس حداً علوياً .

الإتجاه الثاني :

نفرض أن u=sup(S) نريد إثبات أن : لكل ɛ>0 يوجد عدد sɛ يحقق أن u-ɛ<s .

u-ɛ < u ،∀ ɛ > 0 →

إذاً u-ɛ ليس حداً علوياً .

إذاً يوجد عدد sɛ∈S بحيث أن u-ɛ<s وهو المطلوب .

أمثلــة :

أ)- إذا المجموعة الغير خالية S1 أعدادها منتهية على العناصر فإن المجموعةS1 لديها أكبر عنصر u و أقل عنصر w . 

Sup (S1)= u و inf (S1)= w .

ب)- المجموعة : {1 ≥ X ≥ 0 : X} = S2 واضح أن الحد العلوي لها = 1 .

نثبت أن 1 هو الحد العلوي : لنفرض أي عدد وليكن v . إذا v<1 ، š ∈ S2 بحيث : v<š . فإن v لا تكون حد علوي للمجموعة S2 ؛ لأن v<1 .

نستنتج أن : أصغر الحدود العلوية للمجموعة S2 = 1 .

بالمثل أكبر الحدود السفلية للمجموعة S2 = 0 .

ملاحظة : كلا الحد العلوي و السفلي للمجموعة S2 يكون محتوى في S2 .. < لأنها فترة مغلقة > .

ج)- المجموعة : {1>X>0:X} = S3 واضح أن الحد العلوي لها = 1 و الحد السفلي لها = 0 .

إثباتها مثل إثبات الفقرة (ب) .

لكن ملاحظة: في هذه الحالة المجموعة S3 لا تحتوي على أصغر الحدود العلوية و بالمثل لا تحتوي على أكبر الحدود السفلية .. < لأنها فترة مفتوحة > .

نظرية التمام لمجموعة في R :

° لكل مجموعة جزئية غير خالية من مجموعة الأعداد الحقيقية لها حد علوي ، أيضاً لها أصغر الحدود العلوية في R ، هذه الخاصية أيضاً تسمى خاصية الحد العلوي في R.

بالمثل نستطيع القول أن :

  • لكل مجموعة جزئية غير خالية من مجموعة الأعداد الحقيقية لها حد سفلي ، أيضاً لها أكبر الحدود السفلية في R ، هذه الخاصية أيضاً تسمى خاصية الحد السفلي في R.

* من المهم أن نعرف أن :

  • أصغر الحدود العلوية لمجموعة جزئية غير خالية من R لا يشترط أن تنتمي للمجموعة نفسها ،

و بالمثل أكبر الحدود السفلية .

  • لا يشترط أن يكون لكل مجموعة جزئية من R حد علوي ، و بالمثل الحد السفلي.