توهين صوتي

التَّوْهِينُ الصَّوْتِيُّ هُوَ مِقْيَاسٌ لِفَقْدِ الطَّاقَةِ لِانْتِشَارِ الصَّوْتِ فِي الْوَسَائِطِ. تَتَمَتَّعُ مُعْظَمُ الْوَسَائِطِ بِلُزُوجَةٍ، وَبِالتَّالِي فَهِيَ لَيْسَتْ وَسَائِطَ مِثَالِيَّةً. عِنْدَمَا يَنْتَشِرُ الصَّوْتُ فِي مِثْلِ هَذِهِ الْوَسَائِطِ، هُنَاكَ دَائِمًا اسْتِهْلَاكٌ حَرَارِيٌّ لِلطَّاقَةِ نَاتِجٌ عَنْ اللُّزُوجَةِ. يُمْكِنُ قِيَاسُ هَذَا التَّأْثِيرِ مِنْ خِلَالِ قَانُونِ سْتُوكِسْ لِتَوْهِينِ الصَّوْتِ. قَدْ يَكُونُ تَوْهِينُ الصَّوْتِ أَيْضًا نَتِيجَةَ لِلتَّوْصِيلِ الْحَرَارِيِّ فِي الْوَسَائِطِ كَمَا أَوْضَحَ جِي كِيرْشُوفْ فِي عَامِ 1868.^[1]^[2] تَأْخُذُ صِيغَةُ التَّوْهِينِ فِي الْحُسْبَانِ تَأْثِيرَاتِ اللُّزُوجَةِ وَالتَّوْصِيلِ الْحَرَارِيِّ.^[3]^[4]^[5]

بِالنِّسْبَةِ لِلْوَسَائِطِ غَيْرِ الْمُتَجَانِسَةِ، إِلَى جَانِبٍ لِزَوْجَةِ الْوَسَائِطِ، يُعَدُّ التَّشَتُّتُ الصَّوْتِيُّ سَبَبًا رَئِيسِيًا آخَرَ لِإِزَالَةِ الطَّاقَةِ الصَّوْتِيَّةِ. يَلْعَبُ التَّوْهِينُ الصَّوْتِيُّ فِي وَسَطَ ضَيَاعٍ دَوْرًا مُهِمًا فِي الْعَدِيدِ مِنْ الْأَبْحَاثِ الْعِلْمِيَّةِ وَالْمَجَالَاتِ الْهَنْدَسِيَّةِ، مِثْلَ الْمَوْجَاتِ فَوْقَ الصَّوْتِيَّةِ الطِّبِّيَّةِ وَالِاهْتِزَازِ وَتَقْلِيلِ الضَّوْضَاءِ.^[6]^[7]^[8]^[9]

قانون القوّة عدل

تُظهر العديد من القياسات التجريبية والميدانية أن معامل التوهين الصوتي لمجموعة كبيرة من المواد اللزجة المرنة، مثل الأنسجة الرخوة والبوليمرات والتربة والصخور المسامية، يمكن التعبير عنها بقانون القوة أو القدرة التالي فيما يتعلق بالتردد:^[10]^[11]^[12] $P(x+\Delta x)=P(x)e^{-\alpha (\omega )\Delta x},\alpha (\omega )=\alpha _{0}\omega ^{\eta }$

أين $\omega$ هو التردد الزاوي، P الضغط، $\Delta x$ مسافة انتشار الموجة، $\alpha (\omega )$ معامل التوهين $\alpha _{0}$ والتردد الأس المعتمد $\eta$ هي معلمات مادية حقيقية غير سلبية تم الحصول عليها من خلال ملاءمة البيانات التجريبية وقيمة $\eta$ من 0 إلى 2. التوهين الصوتي في الماء، تعتمد العديد من المعادن والمواد البلورية على مربع التردد، أي $\eta =2$ . في المقابل، يلاحظ على نطاق واسع أن الأس المعتمد على التردد $\eta$ من المواد اللزجة المرنة بين 0 و 2.^[13]^[14]^[15]^[16]^[17] على سبيل المثال، الأس $\eta$ الرواسب والتربة والصخور حوالي 1، والأس $\eta$ معظم الأنسجة الرخوة بين 1 و 2.^[10]^[11]^[15]^[16]^[17]

تقتصر معادلات انتشار الموجة الصوتية التبديدية التقليدية على التوهين المعتمد على التردد المستقل والتردد التربيعي، مثل معادلة الموجة المخففة ومعادلة الموجة الحرارية التقريبية. في العقود الأخيرة، تركز الاهتمام والجهود المتزايدة على تطوير نماذج دقيقة لوصف التوهين الصوتي المعتمد على قانون السلطة العام.^[14]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] يتم إنشاء معظم هذه النماذج الحديثة المعتمدة على التردد من خلال تحليل رقم الموجة المعقدة ثم يتم تمديدها لانتشار الموجات العابرة.^[24] يعتبر نموذج الاسترخاء المتعدد لزوجة قانون الطاقة الكامنة وراء عمليات الاسترخاء الجزيئي المختلفة.^[22] اقترح Szabo^[11] معادلة موجة صوتية تبديدية متكاملة للالتفاف الزمني. من ناحية أخرى، يتم تطبيق معادلات الموجات الصوتية القائمة على نماذج مشتقة جزئية مرنة لوصف التوهين الصوتي المعتمد على قانون الطاقة.^[23] اقترح تشين وهولم المشتق الجزئي الموجب المعدل معادلة موجة سزابو^[15] ومعادلة موجات لابلاسيان الكسرية.^[15]^[25] للحصول على ورقة تقارن معادلات الموجة الكسرية مع نموذج توهين قانون القوة. يغطي هذا الكتاب عن تخفيف قانون السلطة أيضًا الموضوع بمزيد من التفصيل.^[26]

يمكن وصف ظاهرة التوهين التي تخضع لقانون قدرة التردد باستخدام معادلة موجية سببية، مشتقة من معادلة تأسيسية جزئية بين الإجهاد والانفعال. تتضمن معادلة الموجة هذه مشتقات زمنية كسرية: ${\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0.}$ ^[27]

ترتبط مثل هذه النماذج المشتقة الكسرية بالفرضية الشائعة بأن ظواهر الاسترخاء المتعددة،^[28] تؤدي إلى التوهين المقاس في الوسائط المعقدة. تم وصف هذا الارتباط بمزيد من التفصيل في عددٍ من أوراق البحوث،^[29] وكذا في ورقة استطلاع نُشرت في دورية محكمة.^[30]

بالنسبة للموجات محدودة النطاق الترددي،^[31] يصفُ القانون طريقة قائمة على النموذج لتحقيق التوهين السببي لقانون القوة باستخدام مجموعة من آليات الاسترخاء المنفصلة داخل ناشمان.^[28]

في السوائل المسامية في - الصخور الرسوبية المشبعة مثل الأحجار الرملية، ينتج التوهين الصوتي أساسًا عن التدفق الناجم عن الموجة لسائل المسام بالنسبة للإطار الصلب، مع $\eta$ تتراوح بين 0.5 و 1.5.^[32]

انظر أيضًا عدل

حساب التفاضل والتكامل الكسري

المراجع عدل

^ Kirchhoff، G. (1868). "Ueber den Einfluss der Wärmeleitung in einem Gase auf die Schallbewegung". Annalen der Physik und Chemie. ج. 210 ع. 6: 177–193. Bibcode:1868AnP...210..177K. DOI:10.1002/andp.18682100602. مؤرشف من الأصل في 2021-01-30.
^ Benjelloun. "On the dispersion relation for compressible Navier-Stokes Equations". {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة)
^ "Acoustic Attenuation - an overview". ScienceDirect Topics. 1 يناير 2016. DOI:10.1016/B978-0-444-53632-7.00217-3. مؤرشف من الأصل في 2021-11-23. اطلع عليه بتاريخ 2021-11-22.
^ Garrett، Steven L. (2020). "Attenuation of Sound". Understanding Acoustics. Cham: Springer International Publishing. ص. 673–698. DOI:10.1007/978-3-030-44787-8_14. ISSN:1868-4513.
^ Szabo، Thomas L. (1995). "Causal theories and data for acoustic attenuation obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. Acoustical Society of America (ASA). ج. 97 ع. 1: 14–24. DOI:10.1121/1.412332. ISSN:0001-4966.
^ Chen، Yangkang؛ Ma، Jitao (مايو–يونيو 2014). "Random noise attenuation by f-x empirical-mode decomposition predictive filtering". Geophysics. ج. 79 ع. 3: V81–V91. Bibcode:2014Geop...79...81C. DOI:10.1190/GEO2013-0080.1.
^ Chen، Yangkang؛ Zhou، Chao؛ Yuan، Jiang؛ Jin، Zhaoyu (2014). "Application of empirical mode decomposition in random noise attenuation of seismic data". Journal of Seismic Exploration. ج. 23: 481–495.
^ Chen، Yangkang؛ Zhang، Guoyin؛ Gan، Shuwei؛ Zhang، Chenglin (2015). "Enhancing seismic reflections using empirical mode decomposition in the flattened domain". Journal of Applied Geophysics. ج. 119: 99–105. Bibcode:2015JAG...119...99C. DOI:10.1016/j.jappgeo.2015.05.012.
^ Chen، Yangkang (2016). "Dip-separated structural filtering using seislet transform and adaptive empirical mode decomposition based dip filter". Geophysical Journal International. ج. 206 ع. 1: 457–469. Bibcode:2016GeoJI.206..457C. DOI:10.1093/gji/ggw165.
^ ^أ ^ب Szabo، Thomas L.؛ Wu، Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 107 ع. 5: 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. DOI:10.1121/1.428630. PMID:10830366.
^ ^أ ^ب ^ت Szabo، Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 96 ع. 1: 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. DOI:10.1121/1.410434.
^ Chen، W.؛ Holm، S. (2003). "Modified Szabos wave equation models for lossy media obeying frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 114 ع. 5: 2570–4. arXiv:math-ph/0212076. Bibcode:2003ASAJ..114.2570C. DOI:10.1121/1.1621392. PMID:14649993.
^ Szabo، Thomas L.؛ Wu، Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 107 ع. 5: 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. DOI:10.1121/1.428630. PMID:10830366.Szabo, Thomas L.; Wu, Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. 107 (5): 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. doi:10.1121/1.428630. PMID 10830366.
^ ^أ ^ب Szabo، Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 96 ع. 1: 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. DOI:10.1121/1.410434.Szabo, Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. 96 (1): 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. doi:10.1121/1.410434.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث Chen، W.؛ Holm، S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 115 ع. 4: 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. DOI:10.1121/1.1646399. PMID:15101619.
^ ^أ ^ب Carcione، J. M.؛ Cavallini، F.؛ Mainardi، F.؛ Hanyga، A. (2002). "Time-domain Modeling of Constant- Q Seismic Waves Using Fractional Derivatives". Pure and Applied Geophysics. ج. 159 ع. 7–8: 1719–1736. Bibcode:2002PApGe.159.1719C. DOI:10.1007/s00024-002-8705-z.
^ ^أ ^ب dAstous، F.T.؛ Foster، F.S. (1986). "Frequency dependence of ultrasound attenuation and backscatter in breast tissue". Ultrasound in Medicine & Biology. ج. 12 ع. 10: 795–808. DOI:10.1016/0301-5629(86)90077-3. PMID:3541334.
^ Chen، W.؛ Holm، S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 115 ع. 4: 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. DOI:10.1121/1.1646399. PMID:15101619.Chen, W.; Holm, S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. 115 (4): 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. doi:10.1121/1.1646399. PMID 15101619.
^ Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 4: 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. DOI:10.1121/1.3631626. PMID:21973374.
^ Pritz، T. (2004). "Frequency power law of material damping". Applied Acoustics. ج. 65 ع. 11: 1027–1036. DOI:10.1016/j.apacoust.2004.06.001.
^ Waters، K.R.؛ Mobley، J.؛ Miller، J.G. (2005). "Causality-imposed (Kramers-Kronig) relationships between attenuation and dispersion". IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. ج. 52 ع. 5: 822–823. DOI:10.1109/TUFFC.2005.1503968. PMID:16048183.
^ ^أ ^ب Nachman، Adrian I.؛ Smith، James F.؛ Waag، Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 88 ع. 3: 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. DOI:10.1121/1.400317.
^ ^أ ^ب Caputo، M.؛ Mainardi، F. (1971). "A new dissipation model based on memory mechanism". Pure and Applied Geophysics Pageoph. ج. 91 ع. 1: 134–147. Bibcode:1971PApGe..91..134C. DOI:10.1007/BF00879562.
^ Szabo، Thomas L. (13 نوفمبر 2018). Diagnostic Ultrasound Imaging: Inside Out (ط. Second). Oxford: Academic Press. ISBN:9780123964878.
^ Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2014). "Comparison of Fractional Wave Equations for Power Law Attenuation in Ultrasound and Elastography". Ultrasound in Medicine & Biology. ج. 40 ع. 4: 695–703. arXiv:1306.6507. DOI:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID:24433745.
^ Holm، S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. شبغنكا/Acoustical Society of America Press. ISBN:9783030149260.
^ Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 4: 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. DOI:10.1121/1.3631626. PMID:21973374.Holm, Sverre; Näsholm, Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. 130 (4): 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. doi:10.1121/1.3631626. PMID 21973374.
^ ^أ ^ب Nachman، Adrian I.؛ Smith، James F.؛ Waag، Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 88 ع. 3: 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. DOI:10.1121/1.400317.Nachman, Adrian I.; Smith, James F.; Waag, Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. 88 (3): 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. doi:10.1121/1.400317.
^ Näsholm، Sven Peter؛ Holm، Sverre (2011). "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 5: 3038–3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. DOI:10.1121/1.3641457. PMID:22087931.
^ Sven Peter Nasholm؛ Holm، Sverre (2012). "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation". Fractional Calculus and Applied Analysis. ج. 16. arXiv:1212.4024. DOI:10.2478/s13540-013-0003-1.
^ Näsholm، Sven Peter (2013). "Model-based discrete relaxation process representation of band-limited power-law attenuation". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 133 ع. 3: 1742–1750. arXiv:1301.5256. Bibcode:2013ASAJ..133.1742N. DOI:10.1121/1.4789001. PMID:23464043.
^ Müller، Tobias M.؛ Gurevich، Boris؛ Lebedev، Maxim (سبتمبر 2010). "Seismic wave attenuation and dispersion resulting from wave-induced flow in porous rocks — A review". Geophysics. ج. 75 ع. 5: 75A147–75A164. Bibcode:2010Geop...75A.147M. DOI:10.1190/1.3463417.

[Kirchhoff-1] Kirchhoff، G. (1868). "Ueber den Einfluss der Wärmeleitung in einem Gase auf die Schallbewegung". Annalen der Physik und Chemie. ج. 210 ع. 6: 177–193. Bibcode:1868AnP...210..177K. DOI:10.1002/andp.18682100602. مؤرشف من الأصل في 2021-01-30.

[Benjelloun-2] Benjelloun. "On the dispersion relation for compressible Navier-Stokes Equations". {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة)

[ScienceDirect_Topics_2016-3] "Acoustic Attenuation - an overview". ScienceDirect Topics. 1 يناير 2016. DOI:10.1016/B978-0-444-53632-7.00217-3. مؤرشف من الأصل في 2021-11-23. اطلع عليه بتاريخ 2021-11-22.

[Garrett_2020_pp._673–698-4] Garrett، Steven L. (2020). "Attenuation of Sound". Understanding Acoustics. Cham: Springer International Publishing. ص. 673–698. DOI:10.1007/978-3-030-44787-8_14. ISSN:1868-4513.

[Szabo_1995_pp._14–24-5] Szabo، Thomas L. (1995). "Causal theories and data for acoustic attenuation obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. Acoustical Society of America (ASA). ج. 97 ع. 1: 14–24. DOI:10.1121/1.412332. ISSN:0001-4966.

[emdpf-6] Chen، Yangkang؛ Ma، Jitao (مايو–يونيو 2014). "Random noise attenuation by f-x empirical-mode decomposition predictive filtering". Geophysics. ج. 79 ع. 3: V81–V91. Bibcode:2014Geop...79...81C. DOI:10.1190/GEO2013-0080.1.

[emdsum-7] Chen، Yangkang؛ Zhou، Chao؛ Yuan، Jiang؛ Jin، Zhaoyu (2014). "Application of empirical mode decomposition in random noise attenuation of seismic data". Journal of Seismic Exploration. ج. 23: 481–495.

[enhemd-8] Chen، Yangkang؛ Zhang، Guoyin؛ Gan، Shuwei؛ Zhang، Chenglin (2015). "Enhancing seismic reflections using empirical mode decomposition in the flattened domain". Journal of Applied Geophysics. ج. 119: 99–105. Bibcode:2015JAG...119...99C. DOI:10.1016/j.jappgeo.2015.05.012.

[dipemd-9] Chen، Yangkang (2016). "Dip-separated structural filtering using seislet transform and adaptive empirical mode decomposition based dip filter". Geophysical Journal International. ج. 206 ع. 1: 457–469. Bibcode:2016GeoJI.206..457C. DOI:10.1093/gji/ggw165.

[note-10] أ ^ب Szabo، Thomas L.؛ Wu، Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 107 ع. 5: 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. DOI:10.1121/1.428630. PMID:10830366.

[Szabo-11] أ ^ب ^ت Szabo، Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 96 ع. 1: 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. DOI:10.1121/1.410434.

[Chen-12] Chen، W.؛ Holm، S. (2003). "Modified Szabos wave equation models for lossy media obeying frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 114 ع. 5: 2570–4. arXiv:math-ph/0212076. Bibcode:2003ASAJ..114.2570C. DOI:10.1121/1.1621392. PMID:14649993.

[مولد_تلقائيا1-13] Szabo، Thomas L.؛ Wu، Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 107 ع. 5: 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. DOI:10.1121/1.428630. PMID:10830366.Szabo, Thomas L.; Wu, Junru (2000). "A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media". The Journal of the Acoustical Society of America. 107 (5): 2437–2446. Bibcode:2000ASAJ..107.2437S. doi:10.1121/1.428630. PMID 10830366.

[مولد_تلقائيا2-14] أ ^ب Szabo، Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 96 ع. 1: 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. DOI:10.1121/1.410434.Szabo, Thomas L. (1994). "Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law". The Journal of the Acoustical Society of America. 96 (1): 491–500. Bibcode:1994ASAJ...96..491S. doi:10.1121/1.410434.

[Chen2-15] أ ^ب ^ت ^ث Chen، W.؛ Holm، S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 115 ع. 4: 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. DOI:10.1121/1.1646399. PMID:15101619.

[Carcione-16] أ ^ب Carcione، J. M.؛ Cavallini، F.؛ Mainardi، F.؛ Hanyga، A. (2002). "Time-domain Modeling of Constant- Q Seismic Waves Using Fractional Derivatives". Pure and Applied Geophysics. ج. 159 ع. 7–8: 1719–1736. Bibcode:2002PApGe.159.1719C. DOI:10.1007/s00024-002-8705-z.

[Astrous-17] أ ^ب dAstous، F.T.؛ Foster، F.S. (1986). "Frequency dependence of ultrasound attenuation and backscatter in breast tissue". Ultrasound in Medicine & Biology. ج. 12 ع. 10: 795–808. DOI:10.1016/0301-5629(86)90077-3. PMID:3541334.

[مولد_تلقائيا4-18] Chen، W.؛ Holm، S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 115 ع. 4: 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. DOI:10.1121/1.1646399. PMID:15101619.Chen, W.; Holm, S. (2004). "Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency". The Journal of the Acoustical Society of America. 115 (4): 1424–1430. Bibcode:2004ASAJ..115.1424C. doi:10.1121/1.1646399. PMID 15101619.

[Holm-19] Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 4: 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. DOI:10.1121/1.3631626. PMID:21973374.

[Pritz-20] Pritz، T. (2004). "Frequency power law of material damping". Applied Acoustics. ج. 65 ع. 11: 1027–1036. DOI:10.1016/j.apacoust.2004.06.001.

[Waters-21] Waters، K.R.؛ Mobley، J.؛ Miller، J.G. (2005). "Causality-imposed (Kramers-Kronig) relationships between attenuation and dispersion". IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. ج. 52 ع. 5: 822–823. DOI:10.1109/TUFFC.2005.1503968. PMID:16048183.

[Nachman-22] أ ^ب Nachman، Adrian I.؛ Smith، James F.؛ Waag، Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 88 ع. 3: 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. DOI:10.1121/1.400317.

[Caputo-23] أ ^ب Caputo، M.؛ Mainardi، F. (1971). "A new dissipation model based on memory mechanism". Pure and Applied Geophysics Pageoph. ج. 91 ع. 1: 134–147. Bibcode:1971PApGe..91..134C. DOI:10.1007/BF00879562.

[Thomas-24] Szabo، Thomas L. (13 نوفمبر 2018). Diagnostic Ultrasound Imaging: Inside Out (ط. Second). Oxford: Academic Press. ISBN:9780123964878.

[HolmNasholm2014-25] Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2014). "Comparison of Fractional Wave Equations for Power Law Attenuation in Ultrasound and Elastography". Ultrasound in Medicine & Biology. ج. 40 ع. 4: 695–703. arXiv:1306.6507. DOI:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID:24433745.

[«Holm2019»-26] Holm، S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. شبغنكا/Acoustical Society of America Press. ISBN:9783030149260.

[مولد_تلقائيا5-27] Holm، Sverre؛ Näsholm، Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 4: 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. DOI:10.1121/1.3631626. PMID:21973374.Holm, Sverre; Näsholm, Sven Peter (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". The Journal of the Acoustical Society of America. 130 (4): 2195–2202. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. doi:10.1121/1.3631626. PMID 21973374.

[مولد_تلقائيا3-28] أ ^ب Nachman، Adrian I.؛ Smith، James F.؛ Waag، Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 88 ع. 3: 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. DOI:10.1121/1.400317.Nachman, Adrian I.; Smith, James F.; Waag, Robert C. (1990). "An equation for acoustic propagation in inhomogeneous media with relaxation losses". The Journal of the Acoustical Society of America. 88 (3): 1584–1595. Bibcode:1990ASAJ...88.1584N. doi:10.1121/1.400317.

[Nasholm-29] Näsholm، Sven Peter؛ Holm، Sverre (2011). "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 130 ع. 5: 3038–3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. DOI:10.1121/1.3641457. PMID:22087931.

[Nasholm2-30] Sven Peter Nasholm؛ Holm، Sverre (2012). "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation". Fractional Calculus and Applied Analysis. ج. 16. arXiv:1212.4024. DOI:10.2478/s13540-013-0003-1.

[Nasholm3-31] Näsholm، Sven Peter (2013). "Model-based discrete relaxation process representation of band-limited power-law attenuation". The Journal of the Acoustical Society of America. ج. 133 ع. 3: 1742–1750. arXiv:1301.5256. Bibcode:2013ASAJ..133.1742N. DOI:10.1121/1.4789001. PMID:23464043.

[32] Müller، Tobias M.؛ Gurevich، Boris؛ Lebedev، Maxim (سبتمبر 2010). "Seismic wave attenuation and dispersion resulting from wave-induced flow in porous rocks — A review". Geophysics. ج. 75 ع. 5: 75A147–75A164. Bibcode:2010Geop...75A.147M. DOI:10.1190/1.3463417.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]